Question

まる

蛍光ペンで引いたところがよく分かりません。

練習 整式 P(x) を(x-3)で割った余りが2x-5であり, x-1で割った余りが5であるとき,Plx)
54 を(x-1)(x-3)*で割った余りを求めよ。
[東京電機大)
P(x) を(x-1)(x-3)*で割ったときの商をQ(x), 余りを
ax?+bx+cとすると,次の等式が成り立つ。
注意 P(x)
=(x-3)°Q(x) +2x-5
から P(3)=1
P(x)をx-1で割った余
りが5であるから
P(1)=5
P(x)=(x-1)(x-3)°Q(x)+ax"+bx+c …… ①
ここで,(x-1)(x-3)°Q(x) は(x-3)?で割り切れるから,
P(x)を(x-3)で割ったときの余りは, ax'+bx+cを
(x-3)で割ったときの余りと等しい。
(S-B)
このことと①から
P(x)を(x-3)で割った余りが 2x-5であるから (1-)- P(3)=9a+36+c=1
P(1)=a+b+c=5
ゆえに b=-4a-2,
c=3a+7が得られ,
ax2-2(2a+1)x+3a+7
を(x-3)?で割った余り
が2x-5に一致するこ
とからaを求める方法
もあるが,手間がかかる。
ax+ bx+c=a(x-3)*+2x-5
よって,等式のは次のように表される。
P(x)=(x-1)(x-3)°Q(x)+a(x-3)+2x-5
したがって
P(1)=a(1-3)?+2·1-5=4a-3
P(x)をx-1で割った余りが5であるから P(1)=5
ゆえに
4a-3=5 はよって
a=2
求める余りは
2(x-3)+2xー5 すなわち 2x°-10x+13

Answer 1

かぼす

P(x)を(x-3)^2で括りましょう。
ax^2+bx+c=a(x-3)^2+(6a+b)x+c-9a
よってP(x)を(x-3)^2で括ると、
P(x)={(x-1)+a}•(x-3)^2•Q(x)+(6a+b)x+c-9aです。
よってP(x)を(x-3)^2で割った余りは(6a+b)x+c-9a