✨ ベストアンサー ✨
9も10も考え方は同じで、まず自然数にしたいから邪魔な分母には消えてもらいたいわけです。その上で、中身が2乗の形になっていればよいわけですね。
したがって分子n+1は、まず約分で消すために3を持ってないといけないですよね。その上で、自然数kを用いて、k²となればよいからn+1=3k²であればよいですね。(実際にn+1=3k²なら√k²=kになる)
k=1から順番に代入していけば、n=3k²-1より求まります。k=5以上のときnは50を越えるので、k=4までのnが答えとなります。
(10)も同じ要領でやれば解けます。(9)を踏まえて考えた上でわからなければ聞いてください。もちろん(9)に関して分からないところがあったら聞いてくださいね。
kは書いた通り自然数です。
例えばk=1なら√( 3×1² /3)=√1²=1
k=2なら√( 3×2² /3)=√2²=2
といったように、どんな自然数が入ったとしても、ちゃんと√が外れて問題の指示通り、整数になりますよね。
逆に言えば、√が外れないと整数にならないから、√の中に2乗を用意したんです。
もっと簡単な問題で、√54nが自然数となるようなnを小さい方から3つ...みたいな問題がありますが、そのときにn=2×3×k²と置きますよね。それと同じことです。この基本問題が解けないなら、(10)を説明してもわからないかと思うので、コメントしてください。
基本問題のやり方は見た感じ解けそうです！
（10）35n＝2k²ですか？7✖️5✖️2というのを利用しないといけませんよね？
それならば、2乗を作らないといけないという感覚はあると思うので、すぐに理解できるかと思います。
同じように(10)も考えたら、2乗の形を用意したいわけです。
35n=5×7×n
なのでnには5と7をさらに1つずつ用意する必要がありますね。そうじゃないと、5と7が残ってしまいます。
だから、√54nのときと同じように、n=5×7×k²と置けばよいのですが、これだと分母が消えてくれないから、分子に2も用意してやる必要があります。
したがって、n=2×5×7×k²と置いてやればよいのです。
なるほどー！！
最低限必要な数（今回の場合35を二乗して消すための5と7、分母を消すための2）と、自然数をかければいい。でも、自然数を一つ書けるだけだとルートは消えないので、二つ掛けなくてはいけない。→二乗
ってことですよね？！
そういうことです！
ちゃんと理解できているようで良かったです。
詳しくありがとうございます！
次からはきちんと解けそうです！
（9）は分かりました！
書いてくださったn＋1＝3k²のkは、なにを表していますか？√が外れた時の数ですか？（10）で立式しようとしたら、そこでこんがらがってしまって、、