Question

ゲスト3

虚数解は偶数個しか持たないと思っていたので納得いきません。

の
大0木
(35点)
aを実数の定数とする. zの方程式
2°+z+ a(z -)3 0
-snt-オいす
ー25ルでー大ん7
が異なる3つの解をもち, それらが複素数平面上で一直線上にあるようなaの値の
範囲を求めよ. ただし, iは虚数単位である。
問題は,このページで終わりである。
- 理2-
Re
一理/数 11-

2(2-i)(2+i) +a(z-i)=0
(2-)(2°+ iz+a) = 0
よって、この方程式の3解はz=iと
2?+ iz+à=0
の2解である。2=x+yi(x, yは実数)として, ①に代入すると
(x°-y°+ 2xyi) + i(x+yi) +a=0
: ポーアーy+a+ix(2y+1)=0
x, y, aは実数であるから
ペーパーy+a=0
x(2y+ 1)= 0
(i) x=0のとき, ②より
y+y-a=0
のの2解は虚軸上にあるから, 3解が一直線上にある条件は
「のがi以外の異なる2解をもつ」
こと,すなわち
「2が1以外の異なる2実数解をもつ」
ことであるので
1+4a>0
(1°+1-aキ0
. -<a<2,2<a
(i)xキ0のとき,. ③より y=-→であるから, ①の2解ともその虚部が
解を結ぶ直線上にない。
以上(i), (i)より
1
-くa<2,2<a
【解 説】
1° 高次方程式では, まず因数分解できるかどうかを老賓」
るのが原則である
を日

複素数 共役複素数

Answer 1

Haruki

f(x)=x³+x²+x-3
のようにxの係数が実数である関数は=0にしたときに複素数の解をもてばその共役複素数も解に持つのですが、この問題には係数(定数項)に虚数が入っているので上のような性質は成り立たないのです。