Question

魚見さん

青枠の場合分けをしなくてはいけない理由と
赤線の面積の求め方がわかりません。

[復習問題 6]
0は 0S0S元をみたす実数とする.xyz 空間内の平面 z= 0上に2点
Pe(cos0, sin0, 0),
き,線分 PoQeが通過する部分をDとする.空間内の z20 の部分において,底面が D,
Qe(2cos0, 2sin0, 0) をとり, 0を 0S0Sπの範囲で動かすと
PeQo 上の各点での高さが-0の立体 Kを考える。半球 B:x" +y? + z?<2?, z20と
元
Kの共通部分をLとするとき,次の問いに答えよ.
(1) Bを平面z=t (0St<2)で切った切り口の円の半径をtを用いて表せ。
(13 慈恵医大)
(2) Lの体積を求めよ。
57

なので,半径はV4-tである。
(2) Kをz=tで切ると,
Y4
高さ
2
-日 がt以上となる
Tπ
Tt
0に対応する部分,つまり
ー1
πt
-<OSTの部分が残る。
2
(0, 0, t)
よって,Kのz=tにおける切り口は上図網目部.
これとBの共通部分,つまり(0, 0, t) からの距離r
がV4-t? 以下でもある部分を考える。
V4-t2<1つまりt>V3 のときは,共通部分は空集
合となる。
V4-t?21つまりtSV3 のときは,切り口のうち,
1SrsV4-t? の部分となる.その面積は,
(4-ド)-19(-号)-(3-)(2-1)
πt
π
(6-3t-2t2+t3)
となる.以上から, Lの体積は,
(6-3t-2t2+t3)dt
4
3
9
T.
16
2
π
6t-
3
-t2-
3
-t8+
t4
三
2
0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かき

場合分けする理由は、、、
√(4-t^2) < 1 のときは、バームクーヘン形の内側より半径が小さいときだから、共通部分は無いです。
ですから、√ (4-t^2) ≧ 1で考えないといけないです。

そして面積、、、
上記 √ (4-t^2) ≧ 1 のときの共通部分の z=t での切り口は、添付の画像のようになります。
この斜線部分が求める面積です。
ですので回答の式のようになります。

もしわからなかったらご連絡下さい。

魚見さん

回答ありがとうございます！

疑問点が全て解決できました！
わかりやすく解説してくださりありがとうございました〜

かき

よかったです。
この問題、図形を想像するのがなかなか大変ですね。
これを問題を理解できるのはかなりのレベルだと思います！
頑張ってください。