横1列に「並べる」とあるため、順列と確率の問題ですね。P(パーミュテーション)の考え方がわかっていない場合は、まずそちらを数学Aの教科書から復習してきてください。では解答を作っていきます。
確率の問題であるため、先に分母となる順列の総数を出しておきましょう。
【
7文字を1列に並べる方法は7!通り
】
⑴AとBが隣り合う。
このように順列の中で「隣り合う」ものが出てきた場合、そのふたつを新たな文字として1つおいてみましょう。ABの組をHとおきます。
すると、Hはどこに並んでもABは隣り合うことになるため、CDEFGHの6文字を1列に並べる問題になりました。
あとは6P6でも6!でも好きな方で記述して、=720通りとなりましたね。しかし、1つ大事なことがあります。
もともとHはABの組で置いていますが、これ、Aが左に来る場合(AB)と右に来る場合(BA)で2通り出てきますよね。
つまり、最後に2をかける必要があります。
720×2=1440です。
【
AとBをひとまとめに考えて、合計6人の順列とすると、並び方は
6!(通り)
その各々に対して、AとBの並び方は
2(通り)
よって、求める確率は
2×6!/7!
=2/7
】
⑶CがDより左にある。
普通に考えて1/2ですよね。CがDより左にある確率と右にある確率は等しいはずですから。ですが、計算して求めるとなると難しくなります。
CがDより左にあるとのことなので、この2つの文字をどう考えるかが重要です。
初めに思いつくのは、一つずつ場合分けしていく考え方です。
C？D？？？？
C？？D？？？
C？？？D？？
……
キリがありませんね。最終的に
？？？？？CD
まで考えなくてはなりませんが、これは現実的ではありません。
そこで、こう考えてみましょう。とりあえずCとDを□としておいて、あとからC→Dの順に入れればよい。
⑴でAとBを隣り合う場合にこれをHとおきましたよね。⑴では最後にABとBAで分けましたが、分けていなければABが隣り合ってAが左である確率を求められていたわけです。ここでいうHって、つまり文字を□□と2つ合わせたものですよね。⑶では「隣り合う」という条件は要らないので、分離してしまえばいいのです。
つまり、AB□□EFG、これを並べればいいので、同じものを含む順列です。これは全体の総数を重複したもので割るか、重複しないものを並べてから重複するものを左から順に入れていくことで求められます。詳しくは教科書の索引から探して読んでください。
解答１
【
C,Dを同じ文字□と考えて、□2個と残りの5文字の順列を作り、□に左からC,Dを順に入れると、条件を満たす順列ができる。
この並べ方の総数は
7!/2!通り
よって、求める確率は
(7!/2!)/7!
=1/2
】
解答２
【
〇〇〇〇〇〇〇のうち、5箇所にABEFGを並べると
7P5(通り)
残り2つの〇のうち、左側にCを入れればよいから求める確率は
7P5/7!=7·6·5·4·3/7·6·5·4·3·2·1
=1/2
】
こうすれば、たとえばAはBよりも左でCはBよりも左、のような3つ以上の文字で出された場合も対応できます。2つの文字なら感覚的に1/2と分かるものですが、計算ではこうなるということはしっかりと頭に入れておきましょう。
⑵BとCが隣り合わない。
2つの解答方法がありますが、⑴の誘導を無駄にしないように気を付けましょう。
《１,間に入れる》
BとC以外の文字を一旦並べてみます。
①A②D③E④F⑤G⑥
ここで、BとCが隣り合わないようにするためには、上の①～⑥でどこに2つが入ればよいでしょうか。
2つが2個の場所に1つずつ入ればよいことが分かりますね。
つまり、ADEFG5文字の並べ方と、6個のものから2個とる順列を考えればいいわけです。
これは簡単ですね。5つのものの順列は5!、6つから2つとる順列は6P2、あとはこれらを掛けて総数で割るだけです。
【
ADEFG5つの文字のそれぞれの間と両端の6箇所のうち2箇所にBCが1つずつ入ればよい。
したがって、入る方法は6個から2個取る順列だから、
6P2=15(通り)
5つの文字の並べ方は
5!(通り)
よって、求める確率は
15·5!/7!
=15/6·7
=5/14
】
ただこの方法、たとえば3つの文字がそれぞれ隣り合わない場合などにはとても有効なんですが、今回は2つの文字だけなんですね。そのため、⑴を利用することを考えます。
⑴は「AとBが隣り合う。」という条件でした。ここで考えてほしいんですが、「AとB」を「BとC」に置き換えることは出来るでしょうか。
もちろん出来ますよね。問題文に「ただし母音は右端に来てはいけない」みたいな条件があれば別ですが、すべての文字で条件は全く同じです。
つまり「AとBが隣り合う場合」と「BとCが隣り合う場合」、同じだけのパターンが考えられるわけです。
「隣り合わない場合」というのは全体から「隣り合う場合」を引けばいいので、全体の順列も求めることで簡単に解くことができます。
【
⑴と同様にして、BとCが隣り合うという事象が起こる確率は
2/7
問題文よりこの余事象が起こる確率を求めればよいから、⑴より
1-(2/7)=5/7
】