Question

にく

これはどうして
y=x3-9x2+15x-7を微分したy‘=3x2-18x+15
とy=kの共有点ではダメなのですか？

O
の所
2
580 点(0, k)から曲線 y=x-9x+15x-7 に異なる3本の接線
…20
が引けるような定数kの値の範囲を求めよ。
第6章
微分

190
サクシード数学I
580 y=x°-9x?+15x-7を微分すると
ジ=3x?-18x++15
接点のx座標をtとすると, 接線の方程式は
ソー(-9t°+15t-7)=(3£2-18t+15)(x-1)
ソ=(3f2-18t+15)xー2t°+9t2-z
すなわち
これが点 (0, k) を通るとき
k=(3f?-18t+15)-0-2f°+9t°-7
-23+9t°-7=k
3次関数のグブフでは,接点が異なれば接線も異
なる。ゆえに、tの方程式①が異なる3個の実
数解をもつようなkの値の範囲を求めればよい。
①
よって
f(1) = -2t°+9+2_7 とおくと
f'(t)=D -6t?+18t= -6f(t-3)
f(t)の増減表は次のようになる。
0
3
f'(t)
f(t)
0
よって, y=f(t)のグ
ラフは右の図のように
なる。
このグラフと直線
y=kの共有点の個数
20
y=k
k
が,方程式Oの異な
O
3
t
る実数解の個数に一
致する。
y=f(t)
よって,求める kの値の範囲は(-7<k<20

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

りゅ

微分した式に値を代入すると得られるのは接線の傾きですよね。つまり微分は接線の傾きの関数といえます。その傾きがkとなる式を立てるわけですから、傾きがkとなるxの値が得られてしまいます。

ここで求めたいのは3本の接線が存在する範囲です。接点が存在すれば必ず接線が引けるので、つまり接点の数が3つという条件を立てます。よって、接点に関する方程式が必要になります。
①接点を置く(t,f(t))
②接線の方程式を立てる
③(0,k)を代入する→接点に関する方程式
この式を満たすtが接点のx座標、つまりtが3つあれば接点が3つ、接線が3つ存在する。
④y＝左辺,y＝kの共有点の個数をグラフから読み取る

何か不明な点があれば聞いてください！