領域における最大· 最小
連立不等式の表す領域内にある点Pに対して, x, yで表される式の値の
最大·最小を考えてみよう。
例題
16
次の連立不等式の表す領域をDとする。点P(x, y)がこの領域
D内を動くとき, x+y の最大値と最小値を求めよ。
3x+yS9,
x+2yS8,
x20,
y20
円
考え方 x+y=k とおくと, これは,傾き -1, y切片kの直線を表す。
この直線はkの値が変わるとき平行に移動する。そこで,この直線が
領域Dと共有点をもつようなんの値の範囲を調べればよい。
解
領域Dは,4点(0, 0),
(3, 0), (2, 3), (0, 4) を
9
頂点とする四角形の周とその
ソ=-3x+9
内部である。
本で
|x+y=k
とおくと,①は傾き -1,
(2,3)
y切片kの直線を表す。
k
D
ソ=ーラォ+4
図より,この直線が領域D
と共有点をもつとき, kの値
が最大になるのは,点(2, 3)
x
3
0-を通るときであり, 最小になるのは, 点 (0, 0) を通るときである。
よって,x+y は, x=D2, y=3 のとき最大値5,
x=0, y=0 のとき最小値0をとる。
問44 例題16 の領域D内を点P(x )が耐
求める領域は, x軸, y軸,および
原点に関して対称である。
2x+y=k とおくと,これは
直線を表す。この直線が領域
Dと共有点をもつようなkの
値の範囲を調べる。
125. 領域Dは,
(yS-3x+5
11
yS-
y=-3x+5
2*+3
5,5
x20
+3
Vミー
y20
を満たす領域であるから, 4点(0, 0),
よ0く+を
6
4
13
(5
3
や)(0, 3)を頂点と
5
する四角形の周とその内部である。
以
とおくと、y=-2x+kより,①は傾き -2, y切片kの直線を表す。
図より、この直線が領域Dと共有点をもつとき, kの値が最大に
中
大参不
直線のと境界線の直線の傾き
4
なるのは、点
13
を通るときであり, 最小になるのは,
を比較すると、
5' 5
-3<-2<-より,直線
点(0, 0)を通るときである。
よって、2x+yは、
1
y=-3x+5とy=ーラx+3
x= y=のとき最大値 号
13
21
の交点()を直線のが
13
4
5"
5
5
x=0. y=0のとき最小値0
をとる。
通るとき,kの値は最大とな
Cle.0)
る。
126. 領域Dは,
Y4 y=2x+2,
xーy=kとおくと,これは直
線を表す。この直線が領域D
y=
yS2x+2
9
3
yS-。
2*+9
と共有点をもつようなkの値
の範囲を調べる。直線のy切
片が一kとなる点に注意する。
(2,6)
y20
を満たす領域であるから, 3点(-1, 0),
(6, 0), (2, 6) を頂点とする三角形の周
とその内部である。
-k
6
CC
125 次の連立不等式の表す領域をDとする。点P(x, y)がこの領域D内を動くとき, 2x+yの最大値
最小値を求めよ。
3x+y<5, x+2y%6, x20, y>0
+3
ニ-2
=-3X+5
X+まこたとおく
15
55
M -
-X+k
3)
ほんとだ…。ありがとうございます🙇♂️