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中点の話なので、中点連結定理が使えます。
(1)OA,OBの中点をA',B'とおきます。
PがA上にあるとき、MはA'上にあります。
Pが線分AB上の途中にあるときを考えます。このとき、中点連結定理より、A'M//APです。したがって、MはA'を通り、APに平行な直線を描きます。
PがB上にあるとき、MはB'上にあります。
よって、Mの描く図形は線分A'B'であり、中点連結定理より、A'B'=AB/2=4/2=2です。
(2)中点連結定理よりMR//OQ, MR=OQ/2です。すなわち、MRはOQを平行移動して半分に縮小したものです。
よって、QがOを中心とする半径4の円の周上および内部を動くとき、RはMを中心とする半径2の円の周上および内部を動くことがわかります。したがって、その面積は4πです。
(3)(1)よりMは長さ2の線分A'B'を描き、(2)よりRはMを中心とする半径2の円を描きます。したがって、点Rは半径2の円の中心をA'からB'までスライドさせたような図形を描きます。縦2横4の長方形の上下に半径2の半円を2つくっつけた形です。面積は4π+8となります。
(4)(3)と考え方は同じですが、円の内部は空洞として考えます。A'を中心とする円とB'を中心とする円を書いて、円が通った部分だけを塗りつぶします。真ん中に目のような空洞がある何とも説明が難しい図形ができあがります。面積を計算します。真ん中の空洞部分は扇形4π/3から三角形(1/2)×2√3×1を引く感じで計算します。半径2と半径2とA'B'で正三角形が左右にできるので扇形の中心角は120°です。三角形の底辺の長さを求めるとき1:2:√3の直角三角形の辺の比が活躍します。
(3)から真ん中を引くと、
(4π+8)-2(4π/3-√3)=4π/3+8+2√3
となります。
長文での丁寧な回答ありがとうございます！
図形のイメージもわかり、理解できました。