Question

H.K.S

各場合分けの最後で、十分性の確認をしていないのは、「判別式D<0であること」と「二次方程式が虚数解をもつこと」が同値であるからという認識であっていますか？
出てきたa,b,cをf(x)に代入して、確認するなどしなくて大丈夫なんですか？

質の低い質問ですみません、、、。

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23
虚数の一般性
F(z)=+a+6+cx+1 は整数を係数とするrの4次式とする。
次方程式 f(r)=0 の重複も込めた4つの解のうち, 2つは整数で残りの。
つは虚数であるという.このときa, b, cの値を求めよ。
(京都大)
一般的に,問題を解く手がかりは「特別
な条件」に注目することです.では,
「整数」と「虚数」ではどちらが特別なのでしょう
精講
ると
を
か。
りれる。
虚数は基本的に(複素)数の中で一番最後に学んだ
ものなので、みなさんの感覚ではすごく特別な数の
ように思えるかもしれません.しかし,複素数のう
ち実数でないものが虚数なので, 虚数というものは
実数と同じくらいありふれた数なのです。Sきさの歳実せっd
ーリカー(G
複素数
この方程式の
実数
で ( 火)
ゲート=alat
有理数
整数
水
=-1。
したが「虚数
したがって, 整数解の方に注目することにします. Rとア
を出
-1,0.
解答
エ=n が f(z)=0 の整数解とすると,
い
プレオ
n(n°+an'+bn+c)=-1
ケ
ール
+an'+bn+cも整数なので, nは-1の約数で
あり,n=1 または n=-1 となる。
したがって,f(zr)=0 の整数解は
(i) エ=1 の重解
(i) エ=-1 の重解
エ=±1
り A

(i)の場合,f(z)をェー1で割ると、商g(z)が
f(z) はェ-1で割り切れるので, a+b+c+2=0
117
第5早
復素数の代数的扱い
のいずれかであることが必要である。
2。
a(z)=r°+(a+1)ェ+(a+b+1)x+(a+b+c+1)
で余りがa+b+c+2 となる。
となり、
g(z)=r"+(a+1)rー(c+1)エー1
となる。
a(z)をェー1で割ると,商がr'+(a+2)r+(a-c+1)
で余りがa-cとなる。
g(x)もエ-1で割り切れるので, aーc=0 となり,
歩る
f(z)=(z-1)°{z°+(a+2)x+1}
re( )
となる。
よって,2次方程式 g°+(a+2)r+1=0 が虚数解
をもてばよく,この方程式の判別式を D, とおくと,
りる計算がになる
も必要で大変である
A時
園
D,=(a+2)°-4=a(a+4)<0
aは整数なので, a=-1, -2, -3であり,
になること
となる。
(i)の場合,h(z)=f(-x)=r*=az+br'-cr+1
とおくと,h(r)="+(-a)r+bz"+(Ic)r+1 と ご
みることができ, -a, b, -cが整数であること, そきま 実
して、h(z)=0 が ェ=1 の重解と 2つの虚数解をも
つことから,(i)の結果が利用できる.
となるので、
となる。
岡の場合,f(z)はz-1で割り切れるので, (i)の
第3章

=をAの有理数解とする. ただし, pとqは互いに素である。このと
118
場合と同様に,a+b+c+2=0 となり,このときの
商 g(z)=z°+(a+1)rー(c+1)z-1 を得る。
9(z)をr+1で割ると, 商がz°+ar-(a+c+1)
で,余りがa+cとなる。
g(z)はェ+1で割り切れるので, atc=0 となり,
S(z)=(ェ-1)(エ+1)(z°+az-1)
となる。
よって,2次方程式 2+ar-1=0 が虚数解をも
てばよい。
ところが、この方程式の判別式をD,とすると,
D=a°+4>0 となり,この方程式は虚数解をもたな
いので不適である。
ケー (
以上より,
(a, b, c)=(±1, 0, ±1), (±2, 2, ±2), (土3, 4, ±3)
(各組とも複号同順)
1° 定数項が0でない整数係数の高次方程式
ame" +an-12"-1+an-2エ"-24…+a%+a,2+a,=0
講究
…の
(a a,キ0)
を解くとき,エが有理数解ならば, エは
の約数
ao
C=
a,の約数
の形で与えられる事実を用いて探していくことになる。このことは,有理数肝
がこの形以外にないということを示している. ここで, 一般的な状況におげる
この事実の証明を与えることにする。
をのの有理数解とする. ただし, かとqは互いに素である.このと
き。
+an-1
n-1
9
an
n-2
9
tan-3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

その２つが同値だから代入して確認する過程は必要ないですね。

H.K.S

ありがとうございます！！
色々と頭ごちゃごちゃになってたので助かりました！