✨ ベストアンサー ✨
実は部分分数分解と一口に言っても割と奥が深くて...
参考までに有利関数における部分分数分解の解説（大学の教科書）の写真を貼っておきます。
基本的に高校数学において部分分数分解の理論をしっかりと説明するのは困難で、部分分数分解できるかどうか、するべきかどうかの判断力は経験を積むしか鍛える方法が無いと思います（質問の趣旨とは話がズレますが）。
質問者さんの示した条件は恐らく十分条件にも必要条件にもなりません（教科書によると分母の次数＝分子の次数でも部分分数分解はできるようですし、例えば、分母の次数>>>>>>>>>分子の次数、だと、仮に①の条件を満たしても部分分数分解は困難でしょう）。
自分もあまり詳しくないので、パッとしない回答だとは思いますが参考にしてみて下さい。
さらに蛇足ながら補足。質問者さんのプロフィールを見たところ、「なぜ」を追求しがちとのことですね（そのことは今回の質問の内容からも伺えます）。実は自分もそうで、それゆえにかなり苦労しました、って言うのも制限時間の決まったペーパーテストで効率よく点数を稼ぐことと、なぜを追求することは往々にして噛み合いません。試験で点数をとることが目的なら時には割り切ることも大切です（といってもそれができないから苦労するんだと思いますけど…）
物理選択者であれば高校物理なんてきっと「なぜ」だらけでしょう、どうしても気になるのであれば、大学一、二年生向けの物理学の参考書（分かりやすいと定評のやつ）を紐解くことをおすすめします。新しい世界が広がると思います（ただ高校教科書レベルの物理と理系数学の簡単な理解は前提として必要ですが）。
回答ありがとうございます！わざわざ大学の教科書まで…!ご丁寧にありがとうございます。そこまで部分分数分解は奥が深いとは思ってませんでした。
いつも追求しすぎてテストには関係ないことまで調べてしまう癖があって、結果的に効率の悪い勉強になってしまい、先生からも割り切りなさいと言われてモヤモヤしています。割り切れない自分にもイライラしてしまいます。それを回答者様が分かってくれて、とても嬉しいです。仰る通り、本当に分からなくて気になるところは、参考書を読んでみたいと思います。
例えば⑤を例にとりましょう。導出とは違いますが、まず証明をしてみます（一枚目の写真参照）。（右辺）＝（左辺）を示せば良いので、⑤式の右辺を変形していきます。結果、p,q,rがそれぞれ（✳︎）を満たすときに⑤式は証明されます。
導出をしたければその証明の流れを逆にたどって行けば、一応導出という形になりますね（まああまりにも天下りな導出で参考にならなさそうですが）。
ちなみにですが、自分はそれら５つの公式を特別に覚えたことはありませんね、せいぜい②式がちょっと有名かな、くらいの感じです。
これら５つの公式を意識的に覚えようとすると大変でしょう、有理関数の部分分数分解の定理というものがあるのでそれを覚えておくと便利だと思います（二枚目の写真参照）。
これが先述の定理などが載っているpdfです
https://www.u-tokai.ac.jp/uploads/sites/12/2021/03/PP49-60.pdf
↑このような、質問者さんの示した５つの公式が適用できないような有利関数も、定理に従えば部分分数分解できてしまうわけです。
ご丁寧にありがとうございます！確かに5つ公式を覚えるよりも定理に従って分解する方が賢いですね！
私の質問に付き合って頂き、本当にありがとうございました😊
まあ、分母の次数>>>>>>>>>分子の次数、でも何かしらの定理によって一意に部分分数分解することは可能かもしれませんが自分はよく分かりませんね…