✨ ベストアンサー ✨
まず、he ( ) not give up going~という部分から、一般動詞の前にnotが入っているために()内は助動詞やそれと同じ働きをするものだとわかります。
この時点でneedsとwasは不正解だと判断できます。
また、hasが()内に入ると仮定すると、動詞giveはhas not give up（原形）ではなくhas not given up（過去分詞形）となるはずなのでおかしいと分かります。
最後に、wouldを入れると意味が通り、またwouldn'tがもつ“どうしても～しようとしなかった”という強い否定の意味とも合います。
wasを入れてしまうと、コンマ後の英文が
he was not give up going there.
となり、be動詞と一般動詞の原型が羅列されてしまって（was not give up）意味が通らなくなってしまいます。
（過去形の一般動詞を使った否定文を作る時はwas notでなくdid notになります）
丁寧にありがとうございます！とても納得しました☺️