Question

Talen

大小関係を比較する際に、
私自身の解答(下から3行目)は
「式>=0」と示しているのですが、
解答(下から6行目)によると、
「式>0」となっています。
どうしてそうなるのでしょうか。
(大小関係の比較材料はあってます)

15 nを4以上の自然数とするとき, 次の不等式を証明せよ。
2"2 n?
p.42 練習問

15 この不等式を①とする。
[1] n=4 のとき
左辺 = 2 = 16,右辺 = 4° = 16
よって,① はn=4 のとき成り立つ。
[2] k24 とし,① がn=k のとき成り立つ,
すなわち
2* 2 k°
2
と仮定する。
n=k+1 のとき, ① の左辺を② を用いて変
形すると
2*+1 = 2.2* >2·°= 2k°
2を+1 2 2k°
3
次に,2k°と(k+1)° を比べる。
ここで,k24 であるから
2k°-(k+1)° =Dパ-2k-1
= (k-1)?=2>0
ニ
すなわち
4
③, ④ より
となり,① はn=k+1 のときにも成り立つ。
(1), [2) より, n が4以上の自然数のとき①が成
り立つ。

15.(んミ4).2^ >n
P40 II] n=4 とき
II] n=4のとき
たe
16.た郎:163り.活2)-(左皿): 0.のたの
のはん:4のとき疾り立つ
とし
IIゴん:Bのとき①パ成立うと仮定すると、
百標
2
れ:食+1のと
ミュ、だこ(た1)
2ポ-(ださいこ2ポーだーュだ一1
だ-2本-1
2、2
真-1三4.つすり友きもさり だーっ方一120
(た+) よって① はんこなっ1のと31成り立っ。
I1コ [I] ま) ①は4以上の自択取んのとき成り立っ
e

数学的帰納法 数列

Answer 1

とある女子高校生

kは最小で4をとりますよね。
k=4を下から6行目の式に代入してみると0より大きくなります。
kは4以上の値をとるので下から6行目の式は、k=4を代入した時に出てくる、7よりでかくなります。
よって、≧ではなく＞になります！

Talen

たしかに0より大きいですが、問題では「>=」が用いられていますよね。左辺ー右辺>=0が成り立つので、解答で「>」ではなく「>=」を使ってもいいと思っています。この考え自体間違っている系ですか？(語彙力なくてｽﾐﾏｾﾝ🙇‍♀️)

とある女子高校生

右辺は左辺を展開したもの、つまり同じ式ということなので、当然左辺-右辺を計算すれば0になります。
ですが、今求めたいのはその式がどの値をとるかになってくるので、左辺-右辺という考え方は今回は、間違っていることになります。

Talen

理解力がなくてなかなか理解できません(･_･;
大小関係を確認する際にA＞＝Bだった場合、
AーBをすると0以上になりますよね(AーB>=0)。
この考えは合っていますよね？

とある女子高校生

その考え方はあっています。

Talen

よくわからないです