Question

はるなん

どうして I＝ に置き換えるんですか？

ここで,前ページの基本例題216同様, 部分積分法を再度用いて①の中の\e" cosxdxを
"sinxdx を求めよ。
不定積分*
363
基本 216
Se'sinxdx=\e"ysinxdx=e'sinx-{
指針> 部分積分法により
重要218
le cosx dx
計算すると、もとの積分\ers
求める。または
Se'cos.x dx=\(e*)' cos x dx=e"cos.x+\e"'sinxdx
の
sinxdx(=Iとする)が現れるから, Iの方程式を導いてIを
7章
31
② であるから,
T-\e*cos x dxとすると, ①, ②より I,Jの連立方程式が得られ, これを解いてI,Jを求
っt
めるという方針で進めてもよい(ここで, IはJで, JはIで表されているから, I, Jを同
形出現のペア ということができる)。
なお,別解では, e*sinx, e*cos.x を微分した式に注目する方針で進めている。
CHART 積の積分 e*sinx, e"cos.xなら同形出現のペアで考える
解答
1=)e*sinxdx とする。
I=\(e")'sinxdx=e"'sinx-\e*cos.xdx
=e*sinx-\(e*)°cos .x dx
(-cosx)'dx と考えて
もよい(結果は同じ)。
ac
=e'sinx-(e" cos.x+
4同形出現。
200
=e*sinx-e* cos x-I
よって21=e*sinx-e*cos x
1
「不定」の意味で積分定
Cをつける。Cはまと
最後につけるとよい。
積分定数を考えて
I=-e(sinx-cos.x)+C
開 /-Se"sin.xdx, J=Sercosxdx とする。
(e*sinx)'=e*sinx+e*cos.x
(e*cos x)'=e*cosx-e*sinx
であるから,2つの式の両辺を積分して
e*sinx=I+J
和の
(1, Jの連立方程式
(積分定数Cを落
ように。
の
の, e*cos.x=J-I·
1
(D-2)-2から
1=se(sinx-cos.x)+c
不定積分の置換積分法·部分星

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

同形が出現するので、そう考えるとうまく積分できるからです。別解のやり方の方がはやいので、そっちでもできるようにしておくと良いです。

はるなん

同型が出現するかどうかは最初に判断するんですか？

ブドウくん

このe^xと三角の積の形はこうするものだというパターンで覚えていますね。y=e^(-x)・sinx とx軸が囲む面積の和の極限が最終的に無限等比級数になるという頻出問題があるので、覚えていて損はないです(というか覚えておかないといけません)

はるなん

そうなんですね！
入試前に知れてよかったですありがとうございます、