Question

もあな

解き方が分からないです。
教えてください🙇‍♀️

国立大学入試対策問題 数列16
定数a, b, c を用いて、 数列{S,} をS,=a"+b"+c* (n=D1, 2, 3, ……)により定める
(1) 恒等式(x-aXx-bXx-c)=xー(a+b+c)x+(ab+bc+ca)xーabc を用いて
Sn+3» S+2 Sn+1, S»が満たす漸化式を求めよ。
SSs(S)S。 S,Ss
Ss
のそれぞれの値を求めよ。
S,
(2) a+b+c=0, abcキ0のとき、
S,
(3) (2) で求めた3つの値に共通してあてはまる規則を1つ挙げよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだまめ🫛

(1)
問題文の恒等式にx=a,b,cをそれぞれ代入すると左辺は0となるから右辺は
a³ - (a+b+c)a²+(ab+bc+ca)a -abc = 0 …①
b³ - (a+b+c)b²+(ab+bc+ca)b -abc = 0 …②
c³ - (a+b+c)c²+(ab+bc+ca)c -abc = 0 …③

①+②+③より
S₃ + 3(a+b+c)S₂ + 3(ab+bc+ca)S₁-3abc = 0 …④

また
①×a+②×b+③×c は
S₄ + 3(a+b+c)S₃ + 3(ab+bc+ca)S₂-3abcS₁ = 0 …⑤
となるから

①×a²+②×b²+③×c²
… と考えていくと

求める漸化式は
S[n+3]+ 3(a+b+c)S[n+2]
+ 3(ab+bc+ca)S[n+1]-3abcS[n] = 0 …⑥

(2)
a+b+c=0,abc≠0 より　　　∴ S₁ = 0

(a+b+c)² = S₁² = 0 より
(a+b+c)²
= a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
= S₂ + 2(ab+bc+ca) = 0 ∴ S₂ = -2(ab+bc+ca)

また④から
S₃-3abc = 0 ∴ S₃ = 3abc

n=1のとき⑥から
S₄+3(ab+bc+ca)S₂ = 0
⇒S₄ -3/2･S₂² = 0 ∴ S₄ = 3/2･S₂²

n=2 のとき ⑥から
S₅ + 3(ab+bc+ca)S₃ - 3abcS₂ = 0
⇒ S₅ - 3/2･S₂S₃ - S₃S₂ = 0
⇒ S₅ - 5/2･S₂S₃ = 0 ∴ S₅ = 5/2･S₂S₃

n=4のとき⑥から
S₇ + 3(ab+bc+ca)S₅ -3abcS₄ = 0
⇒ S₇ -3/2･S₂S₅ -S₃S₄ = 0
⇒ S₇ -15/4･S₂²S₃ -3/2･S₂²S₃ = 0
⇒ S₇ -21/4･S₂²S₃ = 0 ∴ S₇ = 21/4･S₂²S₃

よって
S₂S₃/S₅ = 2/5 , S₂²S₃/S₇ = 4/21 , S₂S₅/S₇ = 10/21

(3)
n=3のとき⑥から
S₆ + 3(ab+bc+ca)S₄ - 3abcS₃ = 0
⇒ S₆ -3/2･S₂S₄ - S₃² = 0
⇒ S₆ -9/4･S₂³ - S₃² = 0 ∴ S₆ = 9/4･S₂³ + S₃²

S₁ = a+b+c = 0
S₂ = -2(ab+bc+ca)
S₃ = 3abc
S₄ = 3/2･S₂²
S₅ = 5/2･S₂S₃
S₆ = 9/4･S₂³ + S₃²
S₇ =

S[n+3] = 3/2･S₂S[n+1] + S₃S[n]

うーん、わかりません！

もあな

ありがとうございます🙇‍♀️