Question

ティティ

初めの赤文字の|an－α|＜½の、½は、どこから出てきたのでしょうか…。問題のnに-1を入れたのでしょうか？
大学前の予習として独学でやっているので、簡単なことかもしれないですが、教えていただけると助かります💦
回答よろしくお願いします🙇‍♀️

指針 証明方法は e-N論法であるが、 収東しないことを示すから, 更に, 背理法も使う。 キな
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一第1章 実数と数列
基本 例題014 数列が収束しないことの証明 (e-N論法)
第n項が次の式で表される数列は, 収束しないことを示せ。
(2) 2n
2
ち
数列 a, が実数の定数 αに収束するとして矛盾を導く
CHAIRIT ~でないことの証明 背理法が有効
解答(1) an=ー
とし、数列 {an} が実数の定数αに収束する
2
と仮定する。
このとき、ある自然数Nが存在し, n>N であるすべての
自然数nについてlan-al< が成り立つ。
Ae-N 論法の適用。
[1] nが偶数のとき
a--であるから。-a<より
く-く
1
1
2
よって
0<α<1
[2] nが奇数のとき
anミー-
2
=であるから。 -の告より
よって
-1<a<0
0, 2を同時に満たすαは存在しないから, 矛盾である。
よって,数列{an} は収束しない。
(2) an=2n とし, 数列 {an} が実数の定数αに収束すると仮
定する。
このとき,任意の正の実数eに対し, ある自然数Nが存在
し、n>N であるすべての自然数nについて |an-al<e
が成り立つ。
すなわち, n2N であるすべての自然数nについて
α-e<2n<α+e が成り立つ。
ところが, α+e以上の整数 2n は無数に存在する。これは
a+e は有限な
矛盾である。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

neutral

「①かつ②を同時に満たすαが存在しないよう」に適当にとってきた値だと考えます．

背理法で示すことを考えると，「あるNが存在して、そのN以上のすべての自然数nで|an - α| < ε」と”ならないような”εが存在すればよいですよね．
このようなεの値がわからないため，とりあえずε_0として解答同様の不等式を考えます．1枚目の画像を参照してください．

①②が共通部分をもたないようなε_0が存在すれば（もたないようにε_0をはじめから設定すれば），それが反例となり証明完了です．
共通部分をもたないようにするためには，赤線部の差が0以上であればよいです（①②の不等式における不等号に＝がつかないことに注意したり，図示するとよく分かると思います）．2枚目の画像を参照してください．

よって
1-2ε_0≧0
であるようなε_0を探せばよく，例えば1/2はこれを満たしますから，本問ではこの値によって矛盾を導いたのだと考えます．

ティティ

回答ありがとうございます！
ご丁寧に解説して下さりありがとうございました！すごく分かりやすくて1発で理解出来ました！
ありがとうございました！