Question

ツバキ

1=0.999...の証明について
上記の証明の一つに、1/3=0.333...の両辺を3倍するというものがあると思うのですが、1/3を無限小数に変換した時点で証明したいことと同じことをやっていることになり、証明したことにならないと思うのですが、これは正しい証明方法なのですか？
つまり、3/1=0.333...という変換を自明なこととして使ってもいいのでしょうか？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

り

正しい証明方法とは言えませんが、「無限小数に変換した」ではなく「筆算で計算した」と捉えてみては？
証明したいことを既に使っている感はなくなります。

0.9999…を0.9＋0.09＋0.009＋0.0009＋…という無限等比級数と見れば、この等比数列の和の極限をとって1と言えますが、正しい証明？なのかは分かりません。"極限"ですからね。

ツバキ

筆算で計算したとしても1/3を厳密に小数で表現することは不可能なので、1/3=0.333...とした時点で両辺の誤差（厳密にはないのでしょうが）を許容していることになりませんか？

り

そうですね、"厳密"に表現することはできません。厳密に言えば等価な関係ではないので。いずれの方法も無理やり等号で結べるように言葉遊びをしていると言ってしまえばそれまでです。
厳密に言うのなら、この問題だけでなく、極限をとって等号で結んだ全ての式について、でも本当は成り立たないのでは？と疑問を持つことになりますね。

ツバキ

そうですよね。
ありがとうございます。
あくまで、直感的には理解できないことを納得するための説明っという感じなんですかね。

り

そうですね。ツバキさんの直感的に違いそう、というのは正しいです。ツバキさんが理解できないのではなく、1と0.9999…は事実違うので。

厳密に言えば等しくないものを等しいと証明しようとしているのですから、厳密に証明できていなくて当然なんです。
2＋3＝10を証明したいとして、途中で無茶な理論を展開することになりそうですね、その時にそれは厳密に言えば違うと論じても、そもそも証明したいことが厳密に言えば違うのでそりゃそうでしょうとなる感じですね。スケールは違いますが。