基本例題 /8 2直線の交点を通る直線
OOOO0
2直線 2x+3y=7
①, 4x+11y=19
-2 の交点と点(5, 4) を通
る直線の方程式を求めよ。
b.115 基本事項5, 基本 77
CHARTOSOLUTION
2直線 f(x, y)=0, g(x, y)=0 の交点を通る直線
方程式 kf(x, y)+g(x, v)=0 (kは定数)を考える……
x, yで表される式を f(x, y) などと表す。
問題の条件は2つある。
[1] 2直線0,②の交点を通る
そこで,まず,①, ② の交点を通る直線(条件[1])を考え,次に,この直線が点
(5, 4)を通る(条件 [2])ようにする。
[2] 点(5, 4)を通る
解答)
kを定数とするとき,次の方程式
3は,2直線の, ② の交点を通
別解 2直線の, ② の交点
の座標は
(5,4)
よって,2点(2, 1), (5, 4)
を通る直線の方程式は
る直線を表す。
3
k(2x+3y-7)+(4x+11y-19)
リー1=4-1
5-2
=0
(x-2)
19
4
③が,点(5, 4)を通るとすると,
3に x=5, y=4 を代入して
0
7
すなわち
x-y-1=0
2
15k+45=0
よって
k=-3
これを3に代入すると -3(2x+3y-7)+(4x+11y-19)=0
整理すると
x-y-1=0
e
INFORMATION 2直線の交点を通る直線
交わる2直線 a1x+ biytci=0, a2x+ bay + c2=0 に対して
k(ax+biytci)+ a2x+b2y+c2=0(kは定数)
は,kの値にかかわらず2直線の交点を通る直線を表している。(ただし, 直線
aix+biy+ci=0 は除く。)
2直線の交点(x, y) は, ax+biy+ci=0, a2x+ b2y+ c2=0 を同時に満たす点であ
るから,(*)はkの値にかかわらず成り立つ。すなわち, (*)は2直線の交点を必ず
通る直線になる。
この考え方は直線以外の図形を表す場合にも通用するので, 応用範囲が広い。
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