✨ ベストアンサー ✨
画像が貼れていませんね…
ベクトルa=a、ベクトルb=b とします。
|a+b|≦|a|+|b|
|a+b|-|b|≦|a|…①
|a|-|b|≦|a+b| を示すので、右辺を|a+b|にしたいです。
ので、a=a+b と置きます。
|(a+b)+b|-|b|≦|a+b|
|a+2b|-|b|≦|a+b|
うまくいきませんでした。
|a+2b|の部分が|a|になれば成功です。
|(a+b)-b|-|-b|=|a|-|b| これでいけそうです。
ということで次は①にa=a+b、b=-bとおいてみます。
…みたいな感じで画像の様に求められます。
両辺に同じものを足しているから成り立っているということでしょうか？
あと、（1）では零ベクトルの場合を考えているのに（2）では考えていないのはなぜでしょうか？
両辺に同じものを足している→置き換えのことでしょうか。
ただ②を利用したいだけなので、まずaとa+b、bと-bは別物だと考えていいです。
僕のa=a+b、b=-bという書き方はよくないですね、申し訳ない。
これは恒等式の変数の部分にどんな数値を代入しても=の関係になることと一緒です。
画像の右の注に、|a+b|≦|a|+|b|は三角形の成立条件の1つだと書かれていますね。
このaとbにどの数値を入れても成り立つことと同じです。
また(1)では、a=0 または b=0 の場合にaとbのなす角θが定義できなくなってθを使うことができないので、場合分けをしなければいけません。
なるほどありがとうございます！！
やはりこのような証明問題は無理やり証明したい形に持っていくしかないのでしょうか…？
別の方法で |a|-|b|≦|a+b| を示してみます。
(i)|a|-|b|<0のとき
|a+b|は正より、|a|-|b|<0≦|a+b| となるので
|a|-|b|<|a+b|は成り立つ。
(ii)|a|-|b|≧0のとき
両辺が正なので(i)の方法は使えません。
ので、両辺を二乗してみます。
|a+b|²-(|a|-|b|)²
=a²+2ab+b²-(a²-2|a||b|+b²)
=2(ab+|ab|)≧0
よって、(|a|-|b|)²≦|a+b|²
|a|-|b|≧0、|a+b|≧0 より、|a|-|b|≦|a+b|
(i)、(ii)より |a|-|b|≦|a+b|
この方法、手間はかかりますが理解はしやすい気がします。
この解法のほうが納得できました！ありがとうございます🙏
すみません、ありがとうございます笑
これです！