解説に入る前に確認ですが、(5)のカッコ内は(won't) = will notで合ってますかね？ (5) I hope I (won't) catch a cold this winter.
それでは解説に。
前提知識として、「現在形」はピンポイントに現在だけを指すのではなく、「もう少し時間的な幅のある時制」だと改めて確認しておきましょう。ですから、すごく近い未来の話なら現在形でも言えちゃいます。
例） I leave Tokyo tomorrow. 「私は明日東京を出発します。」
ということで、(6)のI hope her illness doesn't become worse. のdoesn't becomeが現在形である理由は、この文章が「彼女が今まさに病気で、『すごく近い未来（明日とか明後日程度）にその病気が悪化しない』と良いなぁ」というニュアンスがあるためです。
もう少し文法的に説明すると時制に注目する必要があります。時制は(助)動詞で把握することが基本です。そしてこの文章には、hopeとdoesn't becomeという２つの動詞がありますよね？
『「hopeとdoesn't becomeにそれほど時間的な差がない」とIが考えているから』というのが理由である、としても良いでしょう。
一方、(5)のI hope I (won't) catch a cold this winter.では、hopeとwon't catchに差があります（とＩが考えている、と思うようにしましょう）。
この文章では2番目の動詞であるwon't catchに副詞句this winterが存在しますね。つまり、「現在、願っている(hope)」と「この冬に風邪をひかない(won't catch)」という2つの動詞部分には(6)と比べると時間的な差が大きい（とＩが考えている）と言えそうです。
もっと言えば、「少なくとも今は冬じゃないんだろうなぁ」とか「今はもしかして秋でそろそろ冬が迫っているのかなぁ」とか読者にそれとなく伝える文章になっていると言えます。
ポイントをまとめてみます！
ポイント
〇実は「現在形」は「今」だけを表すわけじゃなく、近未来は表現できる時制！
〇hope節内が現在形か未来形かの違いは、時間的な差の違い！
