Question

にたまご

数学IIです。どうやって相加・相乗平均を使うのかがわかりません。教えてください🙇

a,b,c, d が正の数のとき、次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り
立つのはどのようなときか。
(1) (a+b)(c+d) ≧ 4√abcd
(2) (a+b)(b + c) (c+a) ≥ 8abc

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

AZ

(1)
左辺＝ac+ad+bc+bd
=ac+bd+ad+bc
≧2√acbd+2√adbc　(∵a,b,c,d>0)
＝4√abcd
等号成立はac=bdかつad=bc
つまりa=bかつc=d
(2)
(1)を利用して
(a+b)(b+c)(c+a)≧4b√ac(c+a)
≧4b√ac×2√ac
＝8abc
等号成立はab=bcかつa=c
つまりa=c
ここで、式の対称性から等号成立はa=b=c