Question

kona

高校1年生の数学の不等式の問題です😭
解説お願いします🙇‍♀️🙌🙌

PRACTICE 91②
すべての実数xについて,不等式(a-1)x2−2(a-1)x+3≧0 が成り立つように,定
数αの値の範囲を定めよ。

不等式 高校1年生 数学 数1

Answer 1

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【考え方】

この問題を言い換えると、

｢すべての実数 x に対して、
放物線 y ＝ (a－1)x²－2(a－1)x＋3
が x 軸の上側にある ( x 軸には接しても良い)
ような a の範囲を求めよ。｣

となります。

放物線が上の条件を満たすには、

❶ (x² の係数) ＞ 0（グラフの形が下に凸）
❷ (判別式) ≦ 0（x軸との共有点の数が 0 or 1）

となれば良いです。

【解答】

方程式 (a－1)x²－2(a－1)x＋3 ＝ 0 の判別式を D とすると、

a－1 ＞ 0 ･･･❶
D ≦ 0 ･･･❷

❶より、 a ＞ 1 ･･･❸

❷より、
{2(a－1)}²－4･3･(a－1) ≦ 0
4(a－1)²－4･3･(a－1) ≦ 0
(a－1)²－3(a－1) ≦ 0 ◀ 両辺 4 で割る
(a－1){(a－1)－3} ≦ 0 ◀ a－1 でくくる
(a－1)(a－4) ≦ 0
a ≦ 1、 a ≧ 4

❸と合わせて、 a ≧ 4 ･･･(答え)

[補足]

問題文の不等式が、
(a－1)x²－2(a－1)x＋3【＞】0
ならば、条件❷は、D ＜ 0（x軸と共有点を持たない）となるので注意！

kona

返信が遅くなってしまってごめんなさい💦
ご丁寧な解説ありがとうございます！！😭✨✨