✨ ベストアンサー ✨
以下法を4とする.
2x≡2の両辺を2で割ってx≡1としていましたが
合同式は積,和,差に対しては寛容ですが
商に対しては厳しい制約があります.
それは割ろうとしている数(今回は2)と
法(今回は4)が互いに素でないと
割ることは許されません.
今回の答えは
3x≡1
9x≡3
∴x≡3となります.
ちなみになぜ割ってはいけないのかを
説明しておきます.
示したいこと)
ax≡ay(mod m)においてaとmが互いに素なら
x≡y(mod m)
ax≡ay(mod m)
⇔ax-ay=mk (k∈ℤ)
⇔a(x-y)=mk
ここで”aとmが互いに素”なら…(⭐︎)
x-yがmの倍数でなくてはいけない.
つまりある整数ℓを用いて
x-y=mℓと表せる.
つまりx≡y(mod ℓ) ◻︎
(⭐︎)にあるように互いに素でないと
必ず(x-y)がmの倍数でないとは言い切れないのです.
例として
2x≡2(mod 4)
もしこの両辺を2で割れたら
x≡1(mod 4)となるが,
2x≡2(mod 4)
⇔2(x-1)=4k
⇔x-1=2k
したがってx-1は常に4の倍数であるとは
言い切れない.(x-1=2k=0,±2,±4,…)
もし質問や、間違えている所がありましたらコメントよろしくお願いします！🙇♂️
すみません
x-y=mℓの後
x≡y(mod ℓ)ではなく
x≡y(mod m)でした🙇♂️
ありがとうございます。
とても詳しくてありがたかったです。