Question

らら

「7個のボールがあって、1個は自分のボールです。
残り6個のうち、特定の2個AとBがあります。7個全てを一列に並べたときに、自分のボールと
AまたはBのボールどちらかが隣り合う確率」
という問題の求め方を教えていただきたいです。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

零

7個のボールに、

①②③④⑤⑥⑦
ＡＢＣＤＥＦＧ

と名前を付けます。

Ｇを自分のボールとしましょう。

そうすると問題は
ＡとＧが隣り合う、
または、
ＢとＧが隣り合う
ような確率
と読み換えられます。

ＡとＧが隣り合うことを事象A
ＢとＧが隣り合うことを事象B
とおくと、

問題は
事象Aが起こる、
または、
事象Bが起こる
ような確率
となります。

AまたはBが起こる事象をA∪Bと書きます。
また、A∪Bが起こる確率をP(A∪B)と書きます。

全体の事象をUとおきます。
この問題では7個のボールの並べ方全体がUです。

U,A,B,A∪Bそれぞれの場合の数を
|U|, |A|, |B|, |A∪B|と書きます。

このとき、
A, B, A∪Bが起こる確率P(A), P(B), P(A∪B)は、
P(A)=|A|/|U|
P(B)=|B|/|U|
P(A∪B)=|A∪B|/|U|
で定義されます。

|A∪B|は次のように求められます。
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
ただし、A∩Bは、Aが起こり、かつBが起こる事象を表すものとします。つまり、ＡとＧが隣り合い、かつ、ＢとＧも隣り合うような事象です。

ＧがＡとＢの両方と隣り合うのは、
ＡＧＢと並ぶか、ＢＧＡと並ぶ、
の2通りしかありません。

ＡＧＢと並ぶ場合の数は、ＡＧＢをひとつのボールとみなして、5個のボールを並べる場合の数に等しいですから、5!=120通りです。
ＢＧＡの場合も同様に5!=120通りですね。

ＡとＧが隣り合う場合の数は、6!×2!通りです。
ＢとＧの場合も同様に6!×2!通りですね。

よって、
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
=6!×2!+6!×2!-5!×2
=(6+6-1)×5!×2
=2×11×5!
なので、

P(A∪B)=|A∪B|/|U|=(2×11×5!)/7!
=(2×11)/(7×6)
=11/21

[別解]
AもBも起こらない場合の余事象というアプローチ。
AもBも起こらない場合は、
Ｇの両隣がＡ,Ｂ以外、
または
Ｇが左端で右隣がＡ,Ｂ以外、
または
Ｇが右端で左隣がＡ,Ｂ以外。
Ａ,Ｂ以外のボールは4個ある。
余事象の確率を計算すると、
1-(₄P₂×5!+4×5!+4×5!)/7!=1-(4×3+4+4)/(7×6)=11/21