Question

さこ

集合、数直線に関する問題(1)です。絶対値を含んだ不等式について確認したいことがあります。
問題文で最初に【aは整数である】とありますが、
そのあとIxI<=a/2と書いてある時点でaが正の整数であると決定して良いのですか？

3 数直線と命題
(1) zを実数aを整数として, 集合P, Q, R をそれぞれ
P={x\/x-1³/≥3}, Q={x\x²+18x+79≥0}, R=
2
である.
とするとき,P∩QCR を満たすαの最小の値は
(2) 命題「3<x<4ならば, 2a<x<3a である」 が真となる定数aの値の範囲は｢
la/>
実数の集合は、 数直線上で考えよう
や共通部分, 和集合, 補集合などが視覚的に考えられるようになり, 分かり易くなる.
例えば,
の集合A={x|3<x<4},B={x|2<x<5} について, ACBが成立する ・ 成
不等式の命題は、 数直線上の区間どうしの関係からとらえる
「3<x<4ならば, 2<x<5である｣ という命題の真偽は、 数直線上で,2つ
7
Pは 「x≦または
いまは、 右図により, この命題は真である. このように, 不等式で表された命題については, 数直線上
立しないと一致する. つまり, 区間3<x<4が区間2<x<5の中に含まれる ・ 含まれないに一致する
の区間の包含関係によって視覚的にとらえることができる.
含まれる条件は,
19
2
解 答
(1) 212223のとき
x+18r+79≧0のとき,x≦-9-√2 または-9+√2≦x
α=-9-√2,β=-9+√2 とおくと,
19
たはHS」
2
Qは 「x≦a またはB≦x」
であり, 数直線上に図示すると図1のようになる.
POQは図1の網目部であるから, POQ は図2
の網目部である。これがR: 「2012」に
a
に注意すると,
13
2
2a≦3 かつ 4≦3a
3
... ≦a≦
実数の集合を数直線上に図示すれば,集合どうしの包含開
≦-3または3≦xl
-2 sa
13
2
よって、a≧2×10.41･･･=20.8･･･ だから, 答えは α=21
(2) 3 <x<4ならば, 2a <x<3aとなる α の条件は,
右図により,
R={x||2|={}
図1
-Q
a B
2a
a≥-2a=2(9+√2)
7
minin
図2
B 2
0
R
a
-P
19
07
2 2
19
3 4
2
X
2 3 4
3a x
整理すると,コー
|a|=9+√2<10>
等号がつく、つか

数直線 絶対値

Answer 1

和

>IxI<=a/2と書いてある時点でaが正の整数であると決定して良いのですか？

決定できません
|x|≦a/2と書いてあるからといって、その時点ではa/2が正とか0以上とは言い切れません
この時点でこれを書いたらおかしいと思います

たとえばa=-2、すなわちa/2=-1のとき|x|≦-1となりますが、この式自体があり得ないわけではなく、これを満たす実数xがないのでRが空集合になるというだけです

もちろんその場合、「バー(PかつQ)がRに含まれる」という条件を満たさないので、そこまで勘案して、少なくともaが負だとまずい、ということにはなります

さこ

なるほど。aが負だと条件を満たすことができないから解答にはないけれど除外しているということですか？