Question

jpgamw

数1について質問です！
なぜこのような場合分けになったのですか？？
1だけじゃダメなのですか？？
テスト範囲なので教えてください。
よろしくお願いします。

□ 268. 整数a, b について, ab が8の倍数ならば, a またはbが4の倍数であること
を証明せよ。

268. この命題の対偶「整数α, bについて, aとbがともに4の倍
数でないならば, abは8の倍数でない」 を証明すればよい。
(i) α=4k±1, b=4ℓ±1 (k, lは整数) のとき,
ab=(4k±1)(4l±1)
=2(8kl±2k±2l)+1 (複号任意)
となり, 8kl±2k±2l は整数であるから, abは奇数であり, 8
の倍数でない。
(ii) α=4k±1,6=4ℓ+2 (k, lは整数) のとき,
ab=(4k±1)(4l+2)
=2(8kl+4k±2l±1)
=2{2(4kl+2k±ℓ) ±1} (複号同顧)
となり, 4kl+2k±ℓ は整数であるから, 2(4kl+2k±l) ±1
は奇数であり, ab は偶数であるが8の倍数でない。
(i)a=4k+2,b=4ℓ+2 (k, lは整数)のとき,
ab=(4k+2)(4l+2)
=4(4kl+2k+2ℓ+1)
=4{2(2kl+k+ℓ)+1}
となり, 2kl+k+l は整数であるから, 2(2kl+k+ℓ)+1は
奇数であり, ab は 4の倍数であるが8の倍数でない。
(iv) a=4k+2,6=4ℓ±1(k, lは整数)のとき, (ii) と同様に考え
て, ab は偶数であるが8の倍数でない。
したがって, (i)~(iv) より,いずれの場合も abは8の倍数でない。
よって, 対偶が証明されたから,もとの命題も成り立つ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たこ焼き

aとbがともに4の倍数ではない、というのを考えてます。
　aが4の倍数ではない、というのは、
　　4k±1、4k+2(kは整数)
　bが4の倍数ではない、というのは、
　　4ｌ±1、4ｌ+2(ｌは整数)
と表せます。

だから、aとbがともに4の倍数ではない、というのは、
(i)4k±1かつ4ｌ±1
(ii)4k±1かつ4ｌ+2
(iv)4k+2かつ4ｌ±1
(iii)4k+2かつ4ｌ+2

になりますよね。

この前から思っていたのですが、
　4の倍数ではない数は、4k±1、4k+2(kは整数)ですべて表せていることを理解してますか？
　　※別に、4の倍数ではない数を表すのに、4k±1、4k+2(kは整数)じゃなくても大丈夫ですよ。

4k±1、だけでは、4の倍数ではない数すべてを表せていませんよね？

jpgamw

回答ありがとうございます。
この前から思っていたのですが、
　4の倍数ではない数は、4k±1、4k+2(kは整数)ですべて表せていることを理解してますか？
　　※別に、4の倍数ではない数を表すのに、4k±1、4k+2(kは整数)じゃなくても大丈夫ですよ。

4k±1、だけでは、4の倍数ではない数すべてを表せていませんよね？
⇒すみません、、
多分そこを理解しきれてないのだと思います、、
4k±1と+2になるのはなぜですか？？
お時間あるときに返していただけると嬉しいです🍀