Question

ぷりん🍮

(3)の下線部のところを教えてください！

練習 46 f(x)=x-x²+12 とおく。 原点を通り, 曲線 y=f(x) に接する直線をl とする。
(1) 直線l の方程式を求めよ。
(2) 曲線 y=f(x) と直線ℓ との接点以外の共有点の座標を求めよ。
(3) 曲線 y=f(x)と直線lとの共有点を P(a, f(a)), Q(b, f(b)) (a<b) とする。曲線
y=f(x) 上の点 R(c, f(c)) が a<c<bを満たしながら動くとき、三角形 PQR の面積が
最大となるようなcの値を求めよ。

46 (1) f(x)=x-x2+12 から
f'(x) =3x2-2x
接点のx座標をもとすると、 直線 l の方程式は
y-(t-t2+12)=(3t2−2t)(x-t)
y=(3t2-2t)x-2t3+2+12
すなわち
lが原点を通ることから
ゆえに
よって
-2t3+ t2+12=0
2t3-2-12=0
(t-2)(2t²+3t+6)=0
tは実数だから t=2
したがって、求める直線の方程式は
(2) x-x2+12=8x から
x-x2-8x+12=0
ゆえに
(x−2)2(x+3)=0
よって
x=2, -3
接点以外の共有点のx座標は
x=-3
したがって、求める共有点の座標は (-3, -24)
(3) (2) から a=-3,
b=2である。
-3<c<2だから
-3<x<2において,
曲線 y=f(x) は直線ℓ
より上側にある。
△PQR について 辺
PQ の長さは一定だか
ty=f(x)
162502 85
ら、面積が最大となるのは, 点 R と直線PQの距離
が最大のとき,すなわち点 R における曲線 y=f(x)
の接線が直線PQと平行になるときである。
よって,f'(c) = 8から
3c2-2c=8
これを解いて
-3
c=2,
y=8x
AS12-11-
1P
R
4
C= =-1/11
3
4
3
ℓo
02
x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

Rにおける接線と直線PQが平行になるとき、2直線は傾きが同じになります。
つまり、Rにおける接線の傾きf'(c)とPQの傾き8が等しいというのが赤い線の意味です。

ぷりん🍮

(1)で求めた傾きの8だったのですね！
ありがとうございます！