Question

MOMO

この問題の答えと解説を教えていただきたいです🙇

右の図のように線分AB上に点Cをとり､ AC, BC をそれぞれ1辺とする
正三角形 ACP、CBQ をつくるとき、 次の問いに答えなさい。
AQ=PB であることを証明しなさい。
(1)
P
C
(2) AQ PB の交点をOとするとき、∠AOPの大きさを求めなさい。
B

Answer 1

暇人

(1)△ACQ≡△PCBであることを利用して、AQ=PBを証明します。

△ACQと△PCBにおいて、
　AC=PC(仮定)…①
　CQ=CB(仮定)…②
　∠ACQ=∠ACP+∠PCQ
　　　 =60°+∠PCQ(正三角形ACPの内角)
　　　 =∠BCQ+∠PCQ(正三角形CQBの内角)
　　　 =∠PCB…③
①,②,③より、
　△ACQ≡△PCB(二辺夾角相当)
よって、
　AQ=PB(対応する辺)

　　　　　　　　　　　　　　　　（証明終）

(2)図は一切長さと比が与えられていません。ということは、二つの三角形の比が何であっても角度は変わらないということです。
　そしたら、二つの三角形が合同だとして考えてみましょう。
この場合、△ACQと△PCBはともに二等辺三角形になります。
ということは、
∠QACは30°、∠OAPも60°-30°=30°になります。
AQとPCの交点をZと置くと、
∠AZP=180-60-30
　　 =90°
ここまで来たら、
∠CPBも△PCBが二等辺三角形より30°なので、

∠AOP=90-30
=60°

という風になります。図にとらわれず、自分で工夫してみることが大事です。

MOMO

ありがとうございます🙇