faceというのは動詞で使う場合は
基本的には他動詞なのでbe facing with〜（自動詞の進行形+前置詞）という使い方はしないですね。
自動詞で使う場合もあるんですが、その場合前置詞はwithではなくonとかtowardとかを使うようです。
ちなみにbe faced with〜という形はあります。
これは、
face A with B という、faceを他動詞で使ったときの用法をもとにして、
それを受動態にしたA is faced with Bという形と考えることができます。
itsを使う理由ですが、
基本的に他動詞というのは、
[主語]が[目的語]を/に〜する
という形をとりますよね。
あるものが また別のあるものを 何かする
っていうのが他動詞の一番基本的な形。
だからitsがないと、
地球が 地球とは関係ない別の何か にface(他動詞) している
と読みかねないというか…
主語にthe earthが来た時点で、目的語はearth以外の何かだろうなと考えるのが普通だけど、今回は目的語も主語であるearthそれ自身だから、それを明確にする必要があるということです。
たとえば
The earth is facing the most serious environmental crisis
は純粋に文法のミスというようなものはありませんが
environmental crisis というのが、地球とは別に複数あって、その中で一番seriousなものに地球が対面している
みたいにも取れる気がします。
