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基本例題110 媒介変数と軌跡
①①①
放物線y=x2+ (2t-10)x-4t+16の頂点をPとする。 tが0以上の値をとって
変化するとき, 頂点Pの軌跡を求めよ。
基本 108
重要 111
指針tの値を1つ定めると放物線が決まり, 頂点も定まる。 例えばノ=3|
t=0のとき
t=1のとき
t=2のとき
t=3のとき
t=4のとき
解答
→
→
-
頂点 (5, -9)
y=x²-10x+16,
y=x2-8x+12, 頂点 (4, -4)
頂点 (3,-1)
y=x2-6x+8,
y=x2-4x+4,
頂点 (2, 0)
y=x2-2x,
頂点 (1,-1)
このように考えていくと,右図から頂点Pの軌跡は放物線の
一部らしいことがわかる。
y=x2+(2t-10)x-4t+16
= {x+(t-5)}²-(t-5)²-4t+16
={x+(t-5)}^-t+6t-9
={x+(t-5)}2-(t-3)2
よって、 放物線の頂点Pの座標を(x,y) とすると
x=-t+5
y=-(t-3)2
t=5-x
①から
②に代入して y=-{(5-x)-3}
=-(x-2) 2
また, t≧0であるから 5-x≥0
したがって x≤5
よって 求める軌跡は,
放物線y=-(x-2)のx≦5の部分
YA
10
2 5
O (2,0)
-9
(1,-1) 1
頂点Pの座標を(x,y) とすると, x=(tの式), y=(tの式) と表される。
x=(tの式),y=(tの式) から 変数t (p.168で学習したつなぎの文字と同じ)を消去し
て、x,yの関係式を導く。
なお、 t≧0の条件に要注意。
(0.-4) t-5
(-1,-9)
t=4 t=2
[t=6
(3,-1) x
(4,-4)
t=1
(5,-9)
t=0
tを消去。
171
① 2次式は基本形に直す
放物線y=a(x-p)²+αの
頂点は点(p,q)
xyはtの式で表される。
3 章
18
8 軌跡と方程式
tの値に制限があるから, x,
yの範囲にも制限がある。
これを調べる。
170500x350
検討
媒介変数表示
平面上の曲線Cが1つの変数, 例えばtによって, x=f(t), y=g(t) の形に表されるとき、これ
を曲線Cの媒介変数表示といい, 変数を媒介変数 (パラメータ)という。
tが実数値をとるとx= f(t), y=g(t) により, (x,y)の値が1つに決まり､t が変化すると点
(x,y) は座標平面上を動き, 図形を描く。
²0 がある。 α の値が変化するとき, 円の中心
