Question

りゅ

この問題の解き方を教えてください

B
BI
**
773 数列{an}の初項から第n項までの和SnがSn=2ann であるとき,数列
{an}の一般項を求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

【S_[n]＝2a_[n]－n】から

(1)初項a₁を考えると
　　S₁＝2a₁－1　･･･　①
　　S₁＝a₁　　　･･･　②
　①，②より
　　a₁＝2a₁－1　を解いて、a₁＝1

(2)a_[n＋1]を考えると
　　S_[n]＝2a_[n]－n　　　　　･･･　①
　　S_[n＋1]＝2_[n＋1]－(n＋1)　･･･　②

　a_[n＋1]＝S_[n＋1]－S_[n]　で、①，②を利用し
　a_[n＋1]＝{2_[n+1]－(n＋1)}－{2a_[n]－n}を整理し
　a_[n＋1]＝2a_[n]＋1

　●漸化式として
　　a₁＝1、a_[n＋1]＝2a_[n]＋1　解くと
　　a_[n＋1]＋1＝2{a_[n]＋1}，a₁＋1＝2　から

　　a_[n]＋1　は、初項2，公比2の等比数列で
　　a_[n]＋1＝2・2ⁿ⁻¹＝2ⁿ

　　よって、一般項a_[n]＝2ⁿ－1

簡易確認
n＝1…a₁＝2¹－1＝1，S₁＝2a₁－1＝1、1
n＝2…a₂＝2²－1＝3，S₂＝2a₂－2＝4、1＋3＝4
n＝3…a₃＝2³－1＝7，S₃＝2a₃－3＝11、1＋3＋7＝11
n＝4…a₄＝2⁴－1＝15，S₄＝2a₄－4＝26、1＋3＋7＋15＝26