Question

ゆゆ

(2)でOHの長さを求めてると思うのですが、
図でOHの位置をずらしてるのですが、良いんですか？

108
第3章
62 特殊な四面体
OA = OBOC をみたす四面体OABCの点Oから, △ABC
を含む平面に下ろした垂線の足をHとする. このとき, 次の問い
に答えよ.
00 (1) Hは△ABCの外心であることを示せ.
@ (2) OA=OB=0C=9, AB=6,BC=8,CA=10 のとき
OH の長さと四面体OABC の体積Vを求めよ.
覚え
(1) 平面外の点から平面に垂線を下ろすとそ
の直線は,平面上のすべての直線と垂直で
す.また, H △ABCの外心とすると
HA=HB=HC が成りたちます。
これを手がかりに考えます .
(2) △ABCはふつうの三角形ではありません. 直角三
角形です。 (1) によれば, Hは△ABCの外心ですから,
斜辺の中点が外心になります.
直角三角形がたくさんあるので, 三平方の定理か三
角比の利用を考えます (61)
C
精講
解答
(1)△OAH, △OBH, OCH において,
∠OHA=∠OHB=∠OHC=90°
次に,条件より, OA = OB = OC
また, OHは共通.
直角三角形において
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので
△OAH =△OBH=△OCH
対応する辺の長さは等しいので, HA=HB=HC
よって, Hは△ABCの外心である.
AS
O
A
H
H
H
B
外心
B
A
C

(2) AB2+BC2=36+64=100-山が成り立つ時は
CA²=100
AB2+BC2=CA” だから,
△ABC は CA を斜辺とする直角三角形.
(1)より, Hは△ABCの外心だから,
Hは斜辺 CA の中点に一致する.
よって, OH=√92-52=2√14
また、△ABC=123・6･8=24
V=1/1・△ABC・OH=16√14.0
3
A
6
A
B
9
9
O
H
0
109
ca
9
5 H
C

三角 四面体

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

ずらしている、のとはちょっと違います

(1)では一般的な三角形ABCで話をしていました
つまり△ABCがどんな形状でも成り立つように
話をしていました
その結果、Oから△ABCに下ろした垂線の足は
（△ABCの形状にかかわらず）
△ABCの外心になるということになりました

(2)次に、△ABCが3辺6,8,10の三角形という
特殊な場合を考えています
（実は直角三角形）
当然、(1)の結果からHは△ABCの外心です
このとき、今回の特殊な△ABCでは外心Hは
どこにあるかといえば、斜辺ACの中点にあります

ずらしているというより、
直角三角形ABCの場合では、
Hは(2)の図のようなところに、事実として、あるのですね

ゆゆ

ありがとうございます！

Answer 2

Rei

確かにずらしてますが、AHやOHの長さは変わらないので問題ないです

ゆゆ

ありがとうございます！