Question

あ

教えてください

□ 64 数列{an}の一般項を αn=n(n-1) (n=1, 2,3,....)とする。
(1)が自然数のとき, ak+12-a^²をkの式で表せ。
(2)(1) の結果を利用して,等式1(n+1) 2 を証明せよ。
3
(3) kが自然数のとき, ak+1-ak をkの式で表せ。
n
(4) Σkをnの式で表せ。
k = 1
n
k=1

Answer 1

かきつばた

⑴は[k(k+1)]²-[k(k-1)]²=(k²+k)²-(k²-k)²=4k³
⑵はシグマは1→nまで足すとする
左辺=1/4∑[ak+1²-ak²]=1/4[an+1²-a₁]=1/4n²(n+1)²
↑a₁=0となるからね
⑶は
(k²+k)³-(k²-k)³=6k^5+2k²となる
⑷は同じように∑は1→nまで足す
∑(ak+1³-ak³)=(ak+1³-a₁)=[n(n+1)]³・・・③
⑶より∑(ak+1³-ak³)=∑(6k^5+2k³)
=6∑k^5+1/2×n²(n+1)²・・・④∑k³は⑵より
③=④より
6∑k^5=n³(n+1)³-1/2×n²(n+1)²
=1/2×n²(n+1)²(2n²+2n-1)後は両辺6で割ったら完成