Question

しょー

教えてください！！
至急お願いします🙏🏻

(1) 2眞線ax+by+c=0とaxte'y+c'=oが
1点で交わるとき、この交点を通る直線の方程式は、
k(ax+by+c)+(ax+by+c=0で表される
ことを示せ。 但し★は定数とする。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ふぃる

先に言っておくとこれはax＋by＋c＝ 0の直線を表せていないのでちょっと問題自体怪しいですがそれ以外の直線は表せているのでその事を示します。
f(x,y)＝ax＋by＋c、g(x,y)＝a'x＋b'y＋c'として、直線F:f(x,y)＝0、直線G:g(x,y)＝0とします。
FとGの交点を点P(X,Y)とすると、
f(X,Y)＝0かつg(X,Y)＝0より、任意のkに対して
k(f(X,Y))＋g(X,Y)＝0…(＊)が成り立つから、この直線は必ず点Pを通る。
また、
k＝0の時(＊)はGの方程式に一致するので問題の仮定よりこれがFになる事はなく、
k≠0の時f(x,y)＝－1/k(g(x,y))≠0より、これがFの方程式になる事はない
よって冒頭に述べた通り(＊)がFの方程式にはなりません。
ここから示すべきことは、F以外の点Pを通る任意の直線が(＊)で表せることです。
点Pを通るF以外の任意の直線Hに対して、lはFと一致しないから、f(X',Y')≠0かつ直線H上で点Pとは異なる点Q(X',Y')が取れて
k＝－g(X',Y')/f(X',Y')とすると、
k(f(X',Y'))＋g(X',Y')
＝－g(X',Y')/f(X',Y')×f(X',Y')＋g(X',Y')
＝0
より、P,Qを通る直線は(＊)で表せるからHは(＊)で表せる。よって、点Pを通るF以外の任意の直線は(＊)で表せることが示されました。

ふぃる

k≠0のところで、少し訂正します。
FとGは平行でないので－1/k(g(x,y))≠0となるx,yがあるから、Fの方程式に一致することはないです。
x,yをX,Yで取れば＝0になってしまうので書き方を訂正しました

しょー

ありがとうございます！！