いいえ。
疑問詞の節（間接疑問文）はthat節と同じように名詞のまとまりになります。「どのような影響を〜のか(ということ)」という部分ですね。
だから、わざわざthatを補う必要はありません。
写真の文は元々、isよりうしろは
What effect do these plastic have on humans?
という疑問文で、これをthe big question is〜という文に続けるために語順を入れ替えたものになります。
さらにこの疑問文の成り立ちを考えるなら、たしかにおっしゃる通り
> (the big question is)
>these plastic have what effect on humans
という形が想定されるとは思いますが
でも、その文はそのままの形では文法的に正しい文じゃないですよね。
疑問文の成り立ちを考える上での途中の形なので、
これの意味を考えても効果がないと思います。
数学で途中式にあれこれ意味を求めても意味のある説明にならないのと同じことです。
たたたさんが言いたいことは
節と節をつなぐためには接続詞（今回はthat）が必要だから、今回の場合はisとwhatの間にthatが省略されているんじゃないか？
ってことですよね。
ところが、that節っていうのは話し手の断定的な認識（〜だ／〜ではない）を表します。なので、
それに対応してthatの後ろにくるのは平叙文（肯定文と否定文）だけなんです。
he got marriedという肯定文をI didn't knowに続けるときはthatをつけて
I don't know that he got married.
私は彼が結婚したことを知らない。
となりますね。
話し手の疑念を表す接続詞は
whetherとか、if（もし〜なら とは違った使い方）があります。
この接続詞は、疑問詞を使わない疑問文を、他の文の後ろに続けたいときに使います。
例えば、Did he get married?という疑問文をI don't knowに続けるときは
I don't know whether he got married.
私は彼が結婚したのかどうか知らない。
となります。
じゃあ、今回のように、
疑問詞を使った疑問文を、他の文の後ろに続ける場合はどうすればいいか、ですけど、
これは学校とかでも習うとおりで、
疑問詞を先頭に持ってきて（今回はwhatが修飾している名詞effectもセットで）、残った部分を疑問文の語順から肯定分の語順に戻せば良いんです。
そしたら接続詞が必要じゃん、といいたくなるのは理解はできるんですけど、
疑問詞の前に接続詞thatとかifとかがついている文っていうのは無いんですよね。私だけじゃなくてみんな見たことないと思います。
説明が丁寧な参考書なんかは、
こういう場合は疑問詞が接続詞的な役割も持つんだ、とわざわざ書いてるものもあったような記憶もあるんですけど…確認してみます。
接続詞の働きを、文と文をつなぐ ではなくて
「節を作る」って考えれば
I don't know that he got married.とか
I don't know whether he got married.とかの場合は
thatやwhetherがあることで後ろが節(名詞節)であるとわかるし
間接疑問文の場合は、名詞節になるって決まってるので、接続詞をつけなくても同じように名詞節だとわかるってことで辻褄が合う気がします。
雑な説明でごめんなさい
理解できました！ご丁寧な説明ありがとうございます
回答ありがとうございます
写真の文は元々、「the big question is these plastic have what effect on humans」という文だったのではないでしょうか？