Question

さな

[1]はなぜ成り立つと分かるのですか
解説よろしくお願いします🙇‍♀️

2次方程式x2-2(a+1)x+3a=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数解を
もつような定数aの値の範囲を求めよ。 〔類 東北大〕 基本 126, 127 重要 130
2次方程式f(x)=0の解と数の大小については, y=f(x)のグラフとx軸の共有点の
指針
位置関係を考えることで,基本例題 126, 127で学習した方法が使える。
すなわち, f(x)=x2-2(a+1)x+3aとして
2次方程式f(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ
⇔放物線y=f(x)がx軸の1≦x≦3の部分と、 異なる2点で交わる
したがってD>0, -1< (軸の位置)<3, (-10 (3)≧0で解決。
CHART 2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 1,、(k) に着目
解答
この方程式の判別式をDとし, f(x)=x²-2(a+1)x+3a
とする。 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で、その軸は
直線x=a+1である。
方程式f(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数
解をもつための条件は, y=f(x) のグラフがx軸の
-1≦x≦3の部分と、 異なる2点で交わることである。
すなわち,次の [1]~[4] が同時に成り立つことである。
[1] D>0
指針
★★の方針。
2次方程式についての問
題
2次関数のグラフ
におき換えて考える。
* [2] 軸が-1<x<3の範囲にある この問題では,D の符号,
軸の位置だけでなく,区
間の両端の値f(-1),
f (3) の符号についての
[1] 1/6={-(a+1)-1・3a=a²a+1=(a-1/2) 1+2424
条件も必要となる。
よってD>0は常に成り立つ。..... (*) (+pID=1<(軸)<3
[2] 軸x=a+1について
+1 <3 ([+c)
-1<a
(S)X
YA
すなわち -2 <a<2
①点の座標(
[3] f(-1)≧0から (−1)²-2(a+1).(-1)+3a≥0)
ゆえに
[3] f(-1)≧0 [4] f(3)
20.
5+30 すなわち a ≧ -
3
5
[4] f(3) ≧ 0 から 32−2(a+1)・3+3a≧0
ゆえに _3a+3≧0 apので(-) (ト
すなわち a≦1
①,②,③の共通範囲を求めて
-2
3
5
TRAH)
1
3
―≦a≦1
5
注意 [1]の(*)のように,αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。
ONa+1
I
1
+3
18
x

Answer 1

あや

ある数を２乗したものにある数を足したら負になることはないので、常に0より大きいことが言えます。