Question

mii

2番はどのように求めれば良いのでしょうか？
どなたか回答お願いします🙏

問2 右の図の△ABCにおいて,点D,E,F はそれぞれ辺AB, BC, CA
上の点であり, AD: DB, BE: EC, CF : FAはすべて 1:2である。
線分AE, BF, CDのうちの2本の交点を,図のようにP, Q, R と
するとき、次の問いに答えなさい。
(1) AP:PQ:QE を最も簡単な整数の比で表しなさい。7
x=1
2
2
2.4
=
A
455
P6
3:3:1
る
(2) △PQRの面積は、△ABCの面積の何倍かを求めなさい。
E
B
E
A
R
F
C

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

白い部分の面積（△ABC－△PQR）は、△ABE＋△BCF＋△CAD－△ADP－△BEQ－△CFR（重なった部分を引く）
また、△ABE＝△BCF＝△CAD＝△ABC/3なので、△ABE＋△BCF＋△CAD＝△ABC
したがって、△ABC－△PQR＝△ABC－△ADP－△BEQ－△CFR
⇒　△PQR＝△ADP＋△BEQ＋△CFR
---------------------------------------------------------------
（1）より、AQ：QE＝6：1なので、△BEQ＝△ABE/7
同様に、BR：RF＝CP：PD＝6：1なので、△CFR＝△BCF/7、△ADP＝△CAD/7
△ABE＝△BCF＝△CAD＝△ABC/3なので、△BEQ＝△CFR＝△ADP＝△ABC/21
よって、△ADP＋△BEQ＋△CFR＝3△ABC/21＝△ABC/7
---------------------------------------------------------------
以上より、△PQR＝△ABC/7
答：1/7倍

mii

ありがとうございます!!
一つ質問なのですがなぜ△ABE＝△BCF＝△CADまた、△BEQ＝△CFR＝△ADPだと分かるんですか…？
底辺が2対1で同じなのはわかるんですが高さが同じだと言えるのか分からなくて💦

高橋

図の△BDEについて、辺DEを底辺とすると、高さはBCに等しいですね。
同じく△BEFについて、辺EFを底辺とすると、こちらも高さはBCに等しいです。
つまり、
「底辺が同一直線上にある三角形で、底辺の反対側の頂点が共通ならば、面積の比は底辺の長さの比に等しい」
といえます。

mii

何度もすみません💦
書いてくださった図だと高さが共通だから、というのは分かるのですが
今回の問題の場合、底辺の比が同じなのは分かりますが高さを比べられなくないですか？

高橋

図のように長方形で囲んであげると分かりやすいのではないでしょうか。

△ABC＝BC×BS÷2、△ABE＝BE×BS÷2　⇒　△ABC：△ABE＝BC：BE＝3：1
△ABE＝△ABC/3

同様に、
△ABC＝AC×AT÷2、△BCF＝CF×AT÷2　⇒　△ABC：△BCF＝AC：CF＝3：1
△BCF＝△ABC/3

△ABC＝AB×AU÷2、△CAD＝AD×AU÷2　⇒　△ABC：△CAD＝AB：AD＝3：1
△CAD＝△ABC/3

mii

理解出来ました！！
本当に詳しくありがとうございました🙇🏻‍♀️՞