＿先ず、関数が何か、を、理解しているのかな？
＿①：昨日まで、楕円の方程式の話しをしていましたよね？楕円の関数ではありませんでした。何故だか説明して下さい。
＿②：関数とは何ですか？説明して下さい。
＿①〜②を、間違っても良いので、説明して下さい。
＿①②に付いては、分かってあるのか、分かっていないのか、分からない回答なので、一旦置きます。
＿③：では、定数 a>b>0 と時、
(x/a)^2+(y/b)^2=1
の方程式に y≧0 と言う変域の条件が付きました。半楕円？ですね。
＿これは、関数ですか？③、を返信して下さい。
はい。関数です。理由としては、半楕円になることから、xを定めた時、yは一つに定まるので、関数になります。
＿④：③で取り上げた半楕円？の逆関数って何ですか？
y=√{1-(a/b)²}x (x≧0)だと思います。
＿ちょっと意地悪な質問でしたが、逆関数はありません。何故、逆関数はないか、分かりますか？
逆関数にする前のxの定義域が定められてないから、逆関数にしたときのyの値域が定められていなく、逆関数において、xの値に対し、yの値が一つに定まらないからですか？
＿恐らくは、理解していると、思います。逆関数に於いて、では、なく、関係式に於いて、ですね。関数ですらないので。
＿それから、関数ではなくて、関係式(方程式)ですから、x であっても、定義域ではなくて、変域ですね。私も普段は、あんまり厳密には区別していませんけれども、正確に言えばそうなります。そして、x の変域は、元の関数のy 変域(元の関数は、関数だから、y の値の区間定義は、値域であり、変域である。)を定義したので、対応する関係式の xの変域は、x≧0 と定義されています。
＿実際、たたた さんも、(x≧0) と答えてきましたよね？
＿単に、関係式に於いて x の値に対して、yの値が一つに定まらないことだけが理由です。
＿そして、私は③で取り上げたyの変域を定義した関係式は、関数ですよ。と、言いましたね？
＿⑤：では、定数 a>b>0 の時、
(x/a)^2+(x/b)^2=1
の方程式に、x≧0, y≧0 と言う変域の条件を付けた方程式、(1/4)楕円？を考えましょう。
＿この関数の逆関数は何になりますか？
y=√{1-(a/b)²}x (x≧0)(y≧0)だと思います。
y≧0は√から明らかなので、y≧0はいらないかもしれません
＿⑥：逆関数が存在しない③に対する逆関数もどき、と、⑤で取り扱った関数と、に関して、たたた さんは同じ関係式を返答してましたね？このことは、覚えておいて下さい。
＿⑦：y=[√{1-(a/b)²}]✕x
辺辺を二乗して、y²={1-(a/b)²}✕x²
y²/x²=1-(a/b)²
y²/x²+a²/b²=1。
＿y=[√{1-(a/b)²}]✕x、って、合ってます？
間違ってますか？y²/x²+a²/b²=1この式にy≧0という範囲がつけば良いと思います。
＿検算していますか？
＿『⑤：では、定数 a>b>0 の時、
(x/a)^2+(x/b)^2=1
の方程式に、x≧0, y≧0 と言う変域の条件を付けた方程式、(1/4)楕円？を考えましょう。』
＿x=a の時、y=0、ですよね？
＿たたた さんが、逆関数だと言っている
y=[√{1-(a/b)²}]✕xに、x=0 を代入したら、y=a と鳴らなければ、逆関数ではないですよね？
＿x=0 を代入したら、y=0 ですよね？
つまり逆関数ではない？ということですか？
＿そうですね。逆関数はあるけれども、
y=[√{1-(a/b)²}]✕x (x≧0, y≧0)
ではない。
＿モウイチト計算するか、関係式で表わすのが難しければ、グラフの概略ても構いませんが、返信して貰えますか？
＿それから、トレシング・ペーパー、或いは、極細マジックと半透明のクッキング・ペーパーと、を、夕方迄に用意しておいて下さい。
＿y=f(x) に対して、x=g(y) になるg(y) をf(x) の逆関数と言うのですよね？
＿そして、f(x) も g(y) も、定義域・値域共に正の領域で考えているのです。
＿青線が、第2象限に侵入しているのは、明らかに可笑しくないですか？自分で書いていて疑問に思いませんか？
はい。おかしいと思いました。しかし、逆関数のグラフはy=xに対称だから、こうなるのかなと思いました
＿「逆関数のグラフはy=xに対称だから」→それは、次の段階で説明しよう、と、思っていました。
＿(正直言って、分かっていてより深い疑問が浮かんでいるのか、基礎的な事が全く分かっていないので疑問になっているのか、本当に掴みところがありません。(理解ではなく)知識の深い所と浅い所と、の差が斑模様で、得意・不得意の傾斜ではなくて、凸凹しているんだよね。恐らくは、塾とかの様な体系的に恵まれておらず、個人で本とか、インターネットとか、それなりの時間は掛けて自分で調べているのでしょう。ぺんぎん もどちらかと言うと、そういうタイプだから言わせて貰うけれども、親御さんに金銭的余裕があるのだったら、塾とかで教わる方が段違いに効率的です。お金に問題ないのならば、是非そうして下さい。)
＿⑧：y=x に線対称の話しを知ってはいるのなら、トレーシングペーパーか、代用品か、は、もう準備出来ている？
＿⑨：それから、y=[√{1-(a/b)²}]✕x って、二乗の式から変形して求めたと思うのだけれども、その元の式はどの様な式だと思っているの？
＿⑧⑨を返信して下さい。
⑧に関してはできています。
⑨はわからないです。
(x/a)^2+(x/b)^2=1(x≧0,y≧0)の逆関数を考える際、「逆関数は元の関数の値域と定義域が入れ替わる」と認識していましたが、先ほどの写真のように
y=[√{1-(a/b)²}]✕xが(x/a)^2+(x/b)^2=1(x≧0,y≧0)の逆関数を表しているはずなのに作図した際x≧0,y≧0になっていないことから(x/a)^2+(y/b)^2=1(x≧0,y≧0)の逆関数でもないような気がして、理解できていない状態です。
＿トレーシングペーパーに、x座標・y座標と、(1/4)楕円と、を描いて、裏返して下さい。図形が第一象限に来る様に、90°回転させて下さい。その時、x軸がy軸の位置に、y軸がx座標の位置に来ていますね？
＿トレーシングペーパーに描いて、裏返して、90°回す。これが、xy二次元座標に於ける逆関数です。
＿そして、この操作が、y=x の線対称を得る、と言う操作です。
＿y=[√{1-(a/b)^2}]✕x と言う関係式は、式変形で求めたのであると推測しますが、どの様に式変形したのですか？
＿『トレーシングペーパーに描いて、裏返して、90°回す。これが、xy二次元座標に於ける逆関数です。』→これは実行して見ましたか？
はいやってみました
＿関数って、英語で function ですよね？function って、辞書を引くと、機能、効用、働き、作用、等ですよね？
＿y=f(x) って言うのは、入力が x で出力が y であり、ある特定の機能を実現しますよ。そして、特定の値を入力したら、たった1個の y が出力されますよ。と、言うのが関数です。これは、機能が実現できれば、数式で表現出来なくても良いのです。
＿また、同じ数式で表現していても、それは、同じ関数であることを保証していません。⑥：で同じ関係式を たたた さんが返答して来たことを、覚えて置いて下さい。と、言いましたね？同じ関係式でも関数だったり、関数ではなかったりしています。
＿関数とは、機能を実現することであり、正確に言えば、y=2x も x=2y も、関数で実現している機能を表現する関係式であって、関数そのものではありません。
＿何故ならば、関係式では、どの変数が入力で、どの変数が出力か、が明示的に示されていないからです。
＿逆に言えば、何が入力で何が出力か、を、別途明示すれば、必ずしも y= の形に変形する必要はないのです。それ自体は、関係式であって関数本体ではないからです。
＿y=f(x) の関数を示せ。と、言われた時にだけ、y= の書式で関係式にしろ、と言う意味なのです。単に関数を示せ、とか、逆関数を示せ、とか言われたら、関係式を示せば良いのです。
＿ですから、⑤：の問に対する答えも、y= の形で答える必要はないのです。
(x/b)²+(y/a)²=1 (a>b>0, x≧0, y≧0)
と答えれば良かったのです。
＿変数が xとyとだけの関係式では、入力を x として、出力を y とする、という暗黙の前提条件が出来ているからです。明示的に、y=f(x) の関数を示せと指示されているのではない限り、y= の形にする必要はないのです。
＿また、y=f(x) の逆関数が存在する時、グラフにしたの、半楕円？と、(1/4)楕円？と、を、検討して貰った時に気付いたと思いますが、グラフが上昇してから下がったり、下がってから上昇したり、すれば、トレーシングペーパーで裏返して90°回転させた時に、必ず裏返しの側から見た時のx→y が、1個ではない数値の組み合わせが出て来ます。
＿詰まり、逆関数がある、と、言うことは、元の関数は、単調に増加する関数か、単調に減少する関数か、の、どちらか、と、言うことなのです。
はい。
①楕円はx²,y²が含まれていることから、xをひとつ定めても、yは±xの2通りの値が候補となってしまい、xの値一つに対して、yの値が一つに定まらないので、楕円の方程式は関数ではありません。
②関数とは①でも述べたように、ある値xを入力したときに出力されるyの値は一つのみであります。その出力されるyの値は、fという道具によって決まります。このfによって出力されたyの値はy=f(x)(2x,x²,√xなど)と表されます。