Question

れもん

三角関数の加法定理のところです。
下線部のようになるのはなぜですか？これができるのは直角三角形の時だけでは無いのでしょうか🙇🏻‍♀️

A 正弦・余弦の加法定理
次の等式が成り立つことを証明しよう。
【証明】 右の図のように, 動径 OP と x軸
の正の向きとのなす角を α+β とする。
A, Pの座標はそれぞれ
cos(a+β)=cosa cos β-sina sin β
0
ya
P
|1
0> 8
B
A(1, 0), P (cos(a+B), sin(a+B))
である。 2点間の距離の公式により
-1
0
AP2={cos(a+β)-1}2+sin(a+β)
=2-2cos(a+β)
-1
次に, 2点A,Pを, 原点Oを中心に
y
-αだけ回転した位置にある点を,それ
ぞれQ, R とすると, Q, R の座標は
A
/1x
=01RR
10
10
B
Q(cosa, -sina), R (cosβ, sinβ)
である。 2点間の距離の公式により
A
-1
0
a
1 x
Q
QR2=(cosβ-cosa)+(sinβ+sina)2
=2-2(cosa cos β-sina sinβ)
AP = QR より AP2=QR2 であるから
2-2cos(a+β)=2-2 (cosa cosβ-sin a sin β)
-10
よって
cos(a+β)=cosacos β-sinasinβ
終

三角関数 加法定理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

良い着眼点ですね。三角比の分野において単位円(半径1の円)を使う考え方は直角三角形の三平方の定理を利用しています。　

半径1の単位円上の点Pにおいて、OPは必ず1となるため、点Pからx軸に下ろした垂線の足をHとおくと∠OHP=90°となるので、⊿OPHについてOP²=OH²+PH²が必ず成り立つ。このときOP=1より、OH²+PH²=1となるので、OH=cosΘ、PH=sinΘと表せる。

れもん

ありがとうございました😊