Question

なな

この二問をどう解けば良いのか分かりません。
どなたか教えていただきたいです🙇‍♀️💦

k=1
3
問1.18 5 以上のすべての自然数nに対し次が成り立つことを数学的帰納法で示せ.
(1) n2<2n
(2) 2"< n!

帰納法の仮定により n(n+1)(n+2))
n2-2n-1={n-(1-√2)}{n-(1 + √2)})
1.18 (1) 証明略(ヒント:2n > n2 ⇒ 2n+1 - (n+1)2 > 2n2 - (n+1)2=
(2) 証明略(ヒント : n! > 2⇒(n+1)!-2n+1> (n+1)-2-2.2" =(n-1)2)
1.4 節
1.19
(1) 3
(2)1
(3)2
(4) 2
(3)
a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

(1)
2ⁿ-n²＞0であることを証明する。
i)　n＝5のとき、
　2⁵-5²＝32-25＞0　よって成立
ii)　n＝kのとき成立するとする
　2^k-k²＞0…①

　①に×2をして、
　2^(k+1)-2k²＞0
→　2^(k+1)＞2k²
この両辺に-(k+1)²を追加すると
→　2^(k+1)-(k+1)²＞2k²-(k+1)²
→　　　　　　　＝2k²-(k²+2k+1)
→　　　　　　　＝k²-2k-1
→　　　　　　　＝(k-1)²-2
k≧5において、(k-1)²-2＞0なので、
2^(k+1)-(k+1)²＞0も成立

i)、ii)より、2ⁿ-n²＞0が成立

なな

なるほど！ありがとうございます！