Question

unknown

数学1です‼️157の(1)です‼️√5を有理数とすると、なぜ√5＝a/bとなるのですか？？？有理数をrと置いて、√5＝rじゃダメなんですか？？？

きよ。
である。
(3) mn が3の倍数ならば, mまたはnは3の倍数である。
1*157 1 整数 m についてが5の倍数ならばは5の倍数である。このこと
を用いて, 5 は無理数であることを証明せよ。
(2) (1) の結果を用いて, 3+√15 は無理数であることを証明せよ。

問題157」
(1) √5 が無理数でないと仮定すると,√5 は有理数である。
よって,VS=1/(a,bは1以外に公約数をもたない自然数) と表される。
このとき, a=√56 の両辺を2乗すると 42=562
したがって,2は5の倍数である。
αが5の倍数のとき, αも5の倍数となる。
証明: 対偶が真であることを示す。
αが5の倍数でないとすると, a=5k+r(kは0以上の整数,r= 1, 2, 3, 4)
と表される。
このとき α2=(5k+r)=25k2+10kr+r2=5(5k2+2kr)+22
5k+2kr は整数であり,2 = 1, 4, 9, 16であるが,いずれの場合もは5の倍
数でない。
よって,αは5の倍数でない。
したがって, 対隅が真であるから,もとの命題も真である。
αが5の倍数であるから, a=5ppは自然数) と表される。
(5)2=562 から 5p2-62
ゆえに, 62は5の倍数であり,も5の倍数である。
すなわちもも5の倍数となり,これは, a, b が1以外に公約数をもたないことに
矛盾する。
したがって√5 は無理数である。
(2) √3+√15 は無理数でないと仮定すると, √3+√15 は有理数である。
その有理数をとすると
√3+√15=1
両辺を2乗すると (√3+√15)2=12
すなわち 18 +65=2
よって
√5=72-18
6
r2-18
Y が有理数のとき
は有理数であるから,この等式は√5 が無理数であること
6
に矛盾する。
したがって, √3+√15 は無理数である。
158 「スタンダード数学Ⅰ 問題158]

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

単に、矛盾が起こせないからです
矛盾を導かないと背理法による証明が完成しません

そのためには、条件を適切に利用することです
この場合は、√5は有理数という仮定です
有理数は「整数/整数で表されるもの」なので、
これを使わずにうまくいかないなら
使うしかありません

なぜうまくいかないか、というより
うまくいくように試行錯誤するのです
この場合は試行錯誤というほどのものではありませんが…

unknown

ありがとうございます！√5＋1とかだったらrで大丈夫ですかね？

和

そういうことではないです

=rとおいてうまく矛盾が示せるならそれでいいし、
そうでないならa/bとおいてみるのが有効ではあります

unknown

見分け方とかあるんですかね…🤔💭

和

あなたの欲しがっている答はこんな感じです↓

「√2が無理数のとき、1+√2が無理数であることを示せ」
「√5が無理数のとき、√3+√15が無理数であることを示せ」
など、前提となる条件があるとき、
その事実を利用して簡易的に証明ができることがある
この場合は、=rとおいて矛盾を示せるので、
=rとおいたほうが楽
=a/bとおいてもできるが、大変

単に「√2が無理数であることを示せ」
「√5が無理数であることを示せ」
などは=rとおいても矛盾を示せない
=a/bとおく

あなたの求める解答ここまで

いろんな問題を見て分類して特徴を分析して、
上のように分類できそうだと自分なりに考えられる人は
上のように自分の言葉でまとめていけます
自ずと頭に整理されて入ります

そのように整理できなくても当然悪いことではないんです
しかし、そういう人が結論だけ急いでも、
（今回の会話の中で、あなたの言葉や反応を見ると、
思考が不十分で、結論を急いでいると感じました）
その場限りで分かったような感じになることが多く、
結局遠回りになりやすいです
つまり、「こう来たらこうやる」というパターンの暗記に
やや走りすぎていると思います

だから最初に試行錯誤を、と言っています
いまのところ=rとおくか=a/bとおくか
高々2パターンしか出てきていませんよね
「=rでうまくいかないならa/bとおいてみて」のセリフを
を実践してみれば、
十分疑問も解決したのではないかと思います
回答が来たら、少し自分で考えてみてほしいです
全く考えていない、とは言っていません
あと少し、考えてみてほしいです