Question

ぷりん

この問題の(2)を解いた時に、f’(x)＝0の判別式D<=0のときつまりa<=2のときに極大値はもたないと考え、(ア)の方の場合分けは必要ないと思ったのですが、なぜa <2のときの場合分けも必要なのでしょうか？

194 α を実数とする。 関数 f(x)=2x-3(a+2)x2+12ax について
★★★☆
(1) f(x) が極値をもたないようにαの値を定めよ。
(2) f(x) が極値をもつとき, 極大値をαを用いて表せ。

(1) f'(x) =6x2-6(a +2)x + 12a
f'(x) は2次関数であるから, 関数 f(x) が極値をもたないとき 2次
方程式 f'(x)=0 は異なる2つの実数解をもたない。
f'(x) = 0 の判別式をDとすると
D
4
D≤0
9(a+2)-6.12a = 9a² - 36a +36 = 9(a-2)²
a=2
9(α-2)20を解いて
(2) f(x) が極値をもつのは, (1) より αキ2 のときである。
f'(x)=6x2-6(a + 2)x + 12a
=6(x-2)(x-α)
f'(x) = 0 とおくと
x = 2, a
(ア) α < 2 のとき
f(x) の増減表は次のようになる。
x
a
...
2
f'(x)
0
+
-
0
f(x)
> 極大
極小
よって, x=a のとき, 極大となり,
+
極大値は
f(a)=2a3-3(a+2)a² + 12a²
= -a³ +6a²
(イ) α > 2 のとき
f(x) の増減表は次のようになる。
x
2
...
a
....
f'(x) +
0
-
0
+
+
f(x) > 極大
極小
よって, x=2のとき, 極大となり,
極大値は
f(2)=16-12(a +2 +24a
= 12a-8
(ア)(イ),極大値は
fa < 2 のとき -α+6a²
la > 2 のとき 12a-8

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

MathLove

(1)から極値を持たないようなaは2だけと出ています。D≦0⇔a≦2ではないと思います。

ぷりん

確かにD≦0≠a≦2でしたね！気づかせてくださりありがとうございます✨

Answer 2

ひまちゃん

極値をもたないのは(1)よりa=2の時のみです
(a <2のときはf'(x)=0の判別式D >0となるため極値を持つことになります)
よって、(2)ではa<2、a>2のそれぞれについて場合分けが必要となります

ぷりん

ありがとうございます✨よく分かりました！