Question

sssyyy

なぜPQ⊥平面ABCのとき体積最大なのですか？

150. 空間内に3点A(1, 0, 0),B(0, 2, 0, 0,
(1) 空間内の点Pが AP (BP+2CP)=0を満たしながら動くとき,この
点Pはある定点 Q から一定の距離にあることを示せ.
(2) (1)における定点Qは3点 A, B, C を通る平面上にあることを示せ。
(3)(1) におけるPについて, 四面体 ABCP の体積の最大値を求めよ.
A
9
(九州大)

(3) 四面体 ABCP の体積Vが最大になる
Po
のは,
PQ⊥平面 ABC
RCO
のときで,このときのPをP とすると,
Po
AR
-B-
1
V=1△ABC・PQ.
3
ここで、
【
(s)9 (1)
△ABC=
|AB||AC2-(AB AC) A
このとき
2
(8-s
1
==
5.10-1
2
S-UE 38)
(2)の
7/2
また, (1) より,
7
また、
PoQ=
6°
よって、体積Vの最大値は,
1
したが
3
•
7
2
•
7
=
49
6 36°
の別解1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

PはQから等距離なので、Qを中心とする球面上を動きます

体積は底面積と高さで決まり、底面積はPによらず一定なので、高さが1番高いとき、体積が最大になります。

見やすいように断面図で考えます。もしP₀以外のPで高さが最大になると仮定すると、Pを少しずらすことでさらに高さを大きくできるので、この仮定は誤りです。よって、PQ⊥平面ABC、すなわちP=P₀のとき高さが最大になり、体積も最大になります。

sssyyy

ありがとうございます