Question

R

(4)の問題で黄色いマーカーを引いたところがどうしたらこのようになるかがわかりません。教えて頂きたいです。

次の不等式を証明せよ。また,等号が成り立つときを調べよ。
(1)x2+y^≧4(x-y-2)
例題 15
*(2)
(3)(x+y^)(x2+y2)≧(x+y3)2
x2+2xy+5y2-4x-8y+5≧0
(4)x+y^≧xy+xy3

(4) (x+y)-(x³y+xy³)
=(x-y)x-(x-y)y=(x-y)(x-y3)
=(x-y)2(x2+xy+y2)
2 3
+
+
2
よって
x¹+y¹≥x³y+xy³
等号が成り立つのは, x-y=0 または
2 3
(+22)
+ y2=0のときである。
x-y=0より
x=y
3
(x+/2/2)+2=0よりx+1/2=0 かつ y=0
すなわち
x=y=0
よって, x=y または x=y=0のとき, すなわ
ち x=yのとき,等号が成り立つ。

Answer 1

きらうる

平方完成です。

x²+yx+y²
＝x²+yx+1/4y²-1/4y²+y²
＝(x²+yx+1/4y²)+3/4y²
＝(x+1/2y)²+3/4y²

R

なんで平方完成をするのか教えて欲しいです

きらうる

問題は「不等式を証明」するわけですから、
(x⁴+y⁴)-(x³y+xy³)≧0
が成り立てばいいわけです。
この式を因数分解したのが3行目の
(x-y)²(x²+xy+y²)≧0
なわけです。
(x-y)²は必ず0以上なので、(x²+xy+y²)も0以上であれば不等式が成立します。

x²+xy+y²≧0
を証明するために、(○+○)²を作り出します。この式は必ず0以上になりますので、≧0を証明するのに都合がいいんです。だから平方完成をしているという理由です。

R

ありがとうございます