Question

りびっと

数Ⅱの証明問題です
a+b+c=1,1/a+1/b+1/c=1であるとき、a,b,cのうち少なくとも1つは1であることを証明する問題です。
上の二つの式を連立方程式して、
(c+ab)(c-1)=0 なので少なくとも1つは1になる。と書いたのですがこれは間違っていますか。

証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

(c+ab)(c-1)=0から
「a,b,cの少なくとも1つは1」とはいえないように思います
いえる理由がありますか？
そもそも(c+ab)(c-1)=0がいえるのかどうか？
連立して導いた様子を教えてください

一般には(a-1)(b-1)(c-1)=0なら
a-1=0またはb-1=0またはc-1=0
すなわちa=1またはb=1またはc=1
すなわちa,b,cの少なくとも1つは1、
と展開していくものと思います

りびっと

回答ありがとうございます！
連立方程式は
a + b + c = 1 (x c
1/a + 1/b + 1/c = 1 (x abc
をして、 c^2-c+abc-abから(c+ab)(c-1)=0になりました。
(c-1)のところで少なくとも1つが1になるということが表されていたと思ったのですが違うのですか？

和

確かに(c+ab)(c-1)=0はいえていますね
そこから「少なくともc=1」にはなりません

(c+ab)(c-1)=0 ⇔ c+ab=0またはc=1
なので、c≠1でありc+ab=0である、
という場合があります
これではまだ「a,b,cの少なくとも1つが1」とはいえません

りびっと

なるほど！わかりました！！丁寧にありがとうございます