Question

祝我學測就上

想問第二張黃色的部分為什麼長那樣

設f(x) 與 g(x) 皆為實係數二次多項式且首項係數都是1,已知(f(x))除以g(x)的餘式為
(17-12-17-2x-17-3)
2x+1,而(g(x))除以f(x)的餘式為x+1,則f(x)+g(x)=
°

17.2x2-3x-2
出處:第一冊〈多項式函數>
目標:簡單多項式函數、除法原理
解析:∵f(x)與g(x)皆為實係數二次多項式
且首項係數都是1
故可令f(x)-g(x)=ax+b,其中a、b 為實數
⇒f(x)=g(x)+ax+b............(*)
可得
(f(x))=(g(x)+ax+b)²
=g(x)[g(x)+2(ax+b)+(ax+b)²
又(f(x))除以g(x)的餘式為2x+1
則(ax+b)=a²g(x)+2x+1………………①
另一方面 (g(x))=(f(x)-ax-b)²
=f(x)(f(x)-2(ax+b)]+(ax+b)²
又(g(x))除以f(x)的餘式為x+1,
El]
(ax+b)²=a²f(x)+x+1…………………………………….
•②
由①、②可得 a²f(x)+x+1=a²g(x)+2x+1
⇒f(x)=g(x)+ 1/2 x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Mer

除式g(x)是二次，餘式2x+1是一次
但(ax+b)²是二次，所以要再除以g(x)，才是餘式
而(ax+b)²的x²係數是a²
所以可以改寫成 (ax+b)²=a²g(x)+(2x+1)
就是(ax+b)²再除以g(x)得到餘式2x+1，商為a²

祝我學測就上

為什麼這個式子的餘式還是2x+1 ?

Mer

因為是拿(ax+b)²再除以g(x)，就相當於(ax+b)²=a²g(x)+(2x+1)

Mer

餘式還是(f(x))²除以g(x)的餘式2x+1，同一個式子
只是把他分開寫