Question

ゲスト

面積の求める方法教えてください。

Answer 1

ラニウム

定積分を使うことで簡単に解けます。

試しに解いたので良かったら見て下さい。

定積分 面積

ゲスト

ありがとうございます。
もしこれで回転体の求めることって可能ですか？

ラニウム

軸周りの回転体の体積でしょうか？
yを2乗した式で定積分した後、πをかけると求められると思います。

ゲスト

回転体の体積の答えはどういう感じになりますか？
波線部分がこうなる過程を教えてください。

ラニウム

そこらへんは対数logと指数eの関係の定義の話になってきます。
画像の青枠の部分より出すことが出来ます。

体積について、どの軸を中心に回転させるのですか？

ゲスト

x軸、y軸にどちらも回転させることは可能ですか？

ゲスト

y軸に回転させるんです。

ラニウム

可能ですが、y軸の場合は逆関数を求めてからyで積分を行います。(範囲の変換も必要)

y(x)=e^x-2 → x(y)=ln(y+2)

x軸の答えは貼っておきますので、
y軸も必要なら挑戦して見て下さい。
答えは 2+2ln^2(2)-ln(16)になる筈です。

ラニウム

y軸の正しい答えは
π(2+2ln^2(2)-ln(16))
ですね、すみません。

ゲスト

積分範囲はいくつになりますか？
x^2の部分の式はいくつになりますか？

ラニウム

よく見たら計算ミスをしていたみたいです。
積分範囲は-2<y<0、
答えはπ(4+2ln^2(2)-ln(16))です。

x^2の積分は、置換積分と部分積分をすることで求めることが出来ます。

重ね重ね申し訳無い。