Question

あああああ

これが連続でないことの証明です。

｢x=rcosθ、y=rsinθと置いて上の式を変形させるとθだけの関数になって、極限はθによって変化する＝極限が存在しない➡️連続でない｣

と解いたのですが合っていますか？
他の解き方の方がよければ教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️

(2)= {
(4) f(x, y):
2
2
x²y²
4
x² + y²
0
((x, y) ≠ (0,0) のとき)
((x,y)=(0,0)のとき)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

その解き方でも大丈夫です。
他の解き方は、y=mxとして(x,y)→(0,0)を考えるやり方です。(m≠0, m∈ℝ)
今回の問題では分母がx^4+y^4なので、極座標変換では(できるけど)綺麗な形にはなりません。そして、分母分子の次数をみると、ともに4なので、y=mxとすると、
f(x,mx)=(m^2x^4)/(x^4+m^4x^4)=m^2/(1+m^4)
となります。
この式はxによらない上、mに依存するため、(x,y)→(0,0)のとき、近づける方向によって値が変わってしまうので、極限値は存在しません。
よって不連続。

あああああ

丁寧にありがとうございます😭