Question

れもん

nの値が分からない状態なのに、どうやって部分積分をしているのでしょうか？🙏
お願いいたします🙇🏻‍♀️

98 部分積分法 (IV)
= f sin"rdr とおくとき, 部分積分法を用いて,
n-l
In= I-2 (n≧3) を示せ
n
入試では頻出テーマですが, 「部分積分法を用いて」 の部分がかいて
精講 ないことが多いようです. 結果を覚えておく必要はありませんが、
解答の流れは頭に入れておく必要があります.
解答
In=
= sin" 'rsinadr=fer sin'z・(-cos.x)' dz
2
--sin-rcos.+ (n-1) sin(sin.r)' cos.r dr
=(n-1)J sin"-"r.cosårdr
=(n-1)*sin*-*x(1-sin'x) dr
=(n-1) (In-2-In)
→合成関数の微分 62
nIn=(n-1)In-2 よって, In=n-12 (n≧3)
n
1-1

部分積分法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

nの値が具体的に分からなくてもこの場合、部分積分は可能です。部分積分の公式
∫f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - ∫f'(x) g(x) dx
にf(x) = sin^(n-1)x, g(x) = - cos x
として当てはめれば、
f'(x) = (n - 1)sin^(n - 2)x • cos x (合成関数の微分)
∫g(x) dx = sin x
なので、解答のような部分積分ができます。

れもん

回答ありがとうございます✨
f'(x) = (n - 1)sin^(n - 2)x • cos x というのはどのように計算しているのでしょうか？
お願いいたします🙏

希

合成関数の微分です。
公式は{f(g(x))}' = f'(g(x)) • g'(x)なので、これに当てはめます。f(x) = x^(n-1), g(x) = sinxとすると、
f'(x) = (n-1) • x^(n-2)
g'(x) = cos xなので、
{f(g(x))}' = f'(g(x)) • g'(x) = (n-1) sin^(n-2)x cos x
となります。

れもん

理解出来ました✨ありがとうございます🙇🏻‍♀️