Question

冬

数列分野の問題です。（3）で青線部の恒等式はどこから持ってきたのでしょうか？どういう発想でこの式を使おうと思ったのでしょうか？
抽象的な質問で申し訳ありません。よろしくお願いします。

必解 138 <累乗数の和の公式>
dとnを正の整数とする。 1からnまでのd乗の和を Sa(n)=1+2+...... とお
く。
n²(n+1)²
(1) すべての正の整数nについて, S3(n)=
が成り立つことを,数学的帰納
4
法を用いて証明せよ。
(2) 恒等式(k+1)-(k-1)=6k+2k を利用して, Ss (n) を求めよ。
(3) すべての正の整数nについて, 24S7 (n) は整数n(n+1)2で割り切れることを示せ。
[22 琉球大理系]

(1)Sa(n)=1+2+..
+nのとき,すべての正の整数nについて
S,(n)= n(n+1)。
4
が成り立つことを数学的帰納法により示す。
1+2+......+n=
n² (n+1)²
4
... ①
とする。
[1] n=1のとき
(①の左辺)=13=1
12.22
(①の右辺)
=
=1
4
よって, n=1のとき ① は成り立つ。
[2]n=k のとき,①が成り立つと仮定すると
1 +2 + ...... + k =
n=k+1のときを考えると
k2(k+1)2
4
1+2°+………+k+(k+1)=
k2(k+1)2
-+(k+1)3
4
(k+1)²{k²+4(k+1)} _ (k+1)²(k+2)²
=
4
4
(k+1)^{(k+1)+1}2
4
よって, ① は n=k+1 のときも成り立つ。
[1], [2] から, すべての正の整数nに対して
S3(n) =
n²(n+1)²
4
が成り立つ
(2) 恒等式 k(k+1)-(k-1)k=6k+2k3の両辺に
k=1,2,
…………, n を代入し,辺々の和をとると
n
Σ{k³(k+1)³−(k−1)³k³} = (6k5+2k³)
k=1
k=1
ここで {k³(k+1)3-(k-1)³k³}
よって
k=1
={(1•2)3−(0•1)}+{(2・3)-(1・2)3}
=n(n+1)3
+....+[{n(n+1)}-{(n-1)n}]
Σ(6k5+2k³)=655(n)+2S3(n)
k=1
=6S(n)+2.n(n+1)=6.S(n)+1/2㎡(n+1)
n'(n+1)=65(n)+n²(n+1)²
数学重

したがって
6Ss(n) = n³ (n+1)³-n² (n+1)²
2
=
-(n+1)*2m(n+1)-1)
= n² (n+1)² (2n²+2n−1)
ゆえに
(3) 恒等式
S(n) = 12n² (n+1)² (2n²+2n−1)
の両辺に
(k+1)-(k-1)+h=8k'+8k
k=1, 2,
nを代入し,辺々の和をとると
n
{k(k+1)*(-1)*k*}=Σ(8k+8k)
ここで
よって
k=1
n
Σ{k(k+1)-(k-1)*k*}
k=1
k=1
= {(1.2)-(0.1)4}+{(2·3)-(1.2)4}
= n(n+1)4
n
+…+{n*(n+1)*—(n-1)*n*}
Σ (8k+8k³)=8S7(n)+8S5(n)
k=1
=8S7(n) +8. n²(n+1)² (2n²+2n−1)
12
=8S(n)+n²(n+1)(2n²+2n-1)
n*(n+1)*=8S,(n)+¾½n²(n+1)² (2n²+2n−1)(+
ゆえに
8S(n) = n(n+1)-n²(n+1)² (2n²+2n−1)
=n²(n+1)(3n²(n+1)-2(2n²+2n-1)} i
=n²(n+1)²(3n+6n³-n²-4n+2)
よって 24S7(n) =n²(n+1)2(3n+6n3-n²-4n+2)
したがって、すべての正の整数nに対して, 24S7(n)はn2(n+1)2
で割り切れる。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

(2)の恒等式でS5をS3から求めていることから、
この恒等式を少し変えた恒等式からS7をつくれないか
（S7とS5を繋げる等式をつくれないか）
と考えます

(2)の恒等式をどういじるかは、試行錯誤ですが、
実際やってみれば、割とすぐ出てくるはずです

似たようなことを、教科書でも
Σk² = (1/6)n(n+1)(2n+1)の公式の証明
でやっています

冬

なるほど…やってみるしかないんですね。
Σの証明見てみます。ありがとうございます！