この問題の2枚目の(2)のキ、クについての質問で、解答の連立方程式を解く部分がかなり大変だったのですが、これは本番だったら飛ばしてよいのでしょうか？それとも、私の解き方以外に何かあるのでしょうか？計算過程は載せきれなかったので、次の投稿を見ていただけると幸いです。よろしくお願いしますm(_ _)m
床
図1に示すように、傾斜角 0 の斜面とそれになだらかに続く水平面をもつ質量
の台Qが,水平な床の上におかれている。 台 Q と床の間には摩擦はない。台Qの水
平面の右端には,ばね定数 kのばねが水平にとりつけられている。 ばねの質量は十分
小さくて無視できるものとする。 このとき,以下の(1)~(4)の状態を考える。
運動はすべて同一鉛直面内 (すなわち、 図1の紙面内)で起こるものとする。 速度
よび加速度は床に対するものと定義し、 水平方向の運動については右向きを正にと
る。また,重力加速度の大きさをg とする。
h
球P
m
0
vg
+00000000
一定の力
台 Q
図1
M
(1) 床に対して静止している台 Qの斜面部分の水平面から高さんの位置に、大き
さが無視できる質量mの球(質点)Pを静かに載せると同時に、台Qを糸で一定
この大きさの力で水平に引っ張り始めた。 このとき, 台 Q と球Pは床に対して移
動しつつ, 球Pは水平面から高さんのところにとどまった。 球P と台 Q の間に
は摩擦はないものとする。 球Pには重力と台 Qからの抗力が作用しており、こ
米
れら二つの力の合力が作用する方向が水平方向となす角の大きさは ア
と
なる。また, 0,mM,g,hのうち必要なものを用いると,球Pが台 Qから受
ける抗力の大きさは イ
ウ
9
この抗力と重力の合力の大きさは
球Pの水平方向の加速度は
と表せ,台 Qに作用する力の合力の大き
さは
9
糸が台、Q を引っ張る力の大きさは
カ と表せる。
ui
OT
(2) (1) の状態で, ある時間が経過したときに糸を切ったところ, 球Pは台 Q の
斜面をすべり, 水平面に到達した。 糸を切った瞬間の台 Q の速度をV。 とする。
球Pが水平面に到達した直後の球Pの速度v1 と台Qの速度V, は,m,M,g,
キ
h, Vo のうち必要なものを用いると, 01 =
V1 =
ク
と表せ
量保存則と力学的エネルギー保存則が成立する。また,ばねが縮むとき,台から見た
I
解説
解答・解説
斜面とばねをもった台とその上の小球の運動を考える問題。 糸を引く力を加
え,小球が台に対して静止するとき,小球と台は同じ水平方向の加速度で運動する。
また、糸を切り, 台と小球に働く外力が0になると, 小球と台の運動について, 運動
平方向の運動量の和は保存する。
Pm
糸を切った瞬間のPQの速度
Vo (図2),Pが水平面に到達
したときのPの速度を,Qの
速度をV, とすると(図3), 水平
方向の運動量保存則
V₁
Q
M
・Vo
図2
mu, + MV, = (m + M)V
および力学的エネルギー保存則
......①
小球の運動は単振動になる。
1
-mv+
1 MV^= 12/2(m + M)V' + mgh
2
2
2
......2
(1) 球Pが台 Qに対して静
止するとき、床から見れば,
球Pは台Q とともに水平
方向に加速度運動をするか
ら(図1), 球Pが受ける
合力が水平方向となす角
は 0 〔アの答〕 である。 こ
立糸を切ったあと, P
P
2m
Q
mg
M
が受ける力の水平成分は右向き
で,Qが受ける力の水平成分は
左向きだから, 1 Vo,VI <Vo
であり, ①,② より
V₁
P
m
Q
M
→ Vi
図 3
図 1
M
1 = Vo +
･･2gh
〔キの答〕
Mm + M
のとき,球Pが台 Q から受ける垂直抗力をNとして,鉛直方向の力のつりあい
・・・・・
0 = Ncose-mg
m
M
V1 = V--
-.2gh
〔クの答〕
MNm + M
より,
mg
N =
･････ 〔イの答〕
が得られる(⇒注1)。『ad p
(3) ばねが最も縮んだ瞬間, 台 Q
2=V2
→k
coso
であり,垂直抗力と重力の合力の大きさは
Nsin0 = mgtan0
〔ウの答〕
から見た球Pの相対速度が0. す
なわち v2 = V2になるから(図4),
運動量保存則は
m000000
M
Q
→ V2
図 4
となる。 したがって, Pの加速度を とすると,運動方程式
ma=mgtand
より
〔エの答〕
a=gtan0
であることがわかる。台Qも球Pとともに加速度αで運動するから,Qに働く合
力の大きさは Ma= Mgtane 〔オの答〕に等しく, 台Qを引っ張る糸の張力の大
(m + M) V2 = mv+MV = (m + M) Vo
となって、これより2=V2V 〔ケコの答〕であることがわかる。 また、その
ときのばねの縮みを X とすると, 力学的エネルギー保存則
1/2(m+MP3+1/2kx=1/20
KX2 (m + M) V2 + mgh
において, V2 = Vo だから,
きさをFとすると,PとQを一体と見た運動方程式より,
F= (m + M)a= (m + M)gtane
〔カの答〕
13kx=mgh
2
12mgh
〔サの答〕
X=
である。
が得られる。
-2) 糸を切った後, 球P と台Qに働く水平方向の外力は0になるから,PとQの水
114
-115-
そうなのですね！2つ少し分からないことがあるのですが、1つ目が、ものぐささんが書いてくださって赤文字の右辺のvrのところで、これはふたつの物体の相対的な速度だと思うのですが、ここには重心からの2つの相対速度が入ると思ってたのですが、違うのですか？？2つ目は、垂直方向には運動量が保存しないのに、ベクトル量じゃない運動エネルギーの式が成り立つというのが、少し違和感があるのですが、どう考えればよいのでしょうか？？回答頂けますと幸いです。